Corps de nombres algébriques à degrés locaux uniformément bornés

Soit $k$ un corps de nombres, d un entier positif et soit $k^{(d)}$ le composé de toute
les extensions algébriques de $k$ de degré au plus $d$.
Si $L/k$ est une sous-extension de $k^{(d)}$, alors il est bien connu que $L$ est un corps à degrés locaux uniformément bornés.
On montre que la réciproque est vraie si l'extension $L/k$ est abélienne, mais pas dans le cas général et on donne un contre-exemple construit à partir d'une famille de groupes extra-spéciaux et leurs modules.
On prouve aussi que, pour une extension galoisienne de $k$, être à degrés locaux uniformément bornés est équivalent à avoir groupe de Galois d'exposant fini.
Un partie des résultats présentés est en collaboration avec Umberto Zannier.