Deuxième étape:

  Les géodésiques minimales d'un potentiel analytique périodique sont isolées.

On a en fait un résultat un peu plus général pour un potentiel analytique non forcément périodique:

 

Preuve du lemme 8:
Considérons les sphères d'Agmon S_P et S_P' de centres P et P' et de rayon . On choisit tel que la distance d'Agmon de x à P [respectivement P'] soit analytique à l'intérieur des sphères.

Soit , il existe une unique géodésique (minimale) reliant P et x. On paramètre pour en faire la solution d'énergie 0 du hamiltonien passant par x à l'instant t=0. On pose alors . On observe que est analytique par rapport à x et à t.

Soit maintenant tel que la géodésique correspondante relie P à P'. Notons l'intersection de S_P' avec la géodésique. Soit x un point voisin de x₀ , l'équation de l'intersection de et de S_P' (si elle existe) est:

On applique le théorème des fonctions implicites en x₀,t₀, il s'agit de déterminer t en fonction de x . On a:

(uniformément). Donc il existe un voisinage de x₀ tel que la géodésique issues de P et passant par x rencontre S_P' à l'instant t(x) où est une fonction analytique de x. La géodésique aboutit alors en P' si et seulement si:

 

qui est une condition analytique par rapport à x.

Ainsi, le théorème des zéros isolés permet d'affirmer que soit toutes les géodésiques issues de P aboutissent à P', soit elles sont isolées.

QED

Si on suppose de plus que V est périodique, les géodésiques sont forcément isolées. En effet, il existe une géodésique issue de P qui ne passe pas par P': il suffit de prendre translatée de P -P' .