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Cas particulier d'une géodésique planaire.

  Cette hypothèse permet de dire que tex2html_wrap_inline2524 et tex2html_wrap_inline2526 restent dans un même plan (celui de la géodésique). En effet, si on note tex2html_wrap_inline2538 et tex2html_wrap_inline2540 les vecteurs tangent et normaux à la géodésique d'Agmon (exprimés dans la base tex2html_wrap_inline2542 ), on a:

  equation420

En écrivant l'équation d'une géodésique pour la métrique (1-V2)dx2, on montre:

  equation428

tex2html_wrap_inline2254 désigne la courbure de la géodésique. Finalement:

  equation437

Supposons maintenant que la géodésique est planaire et soit tex2html_wrap_inline2548 le vecteur normal au plan de la géodésique, exprimé dans la base tex2html_wrap_inline2528 . On peut alors déterminer y1 en intégrant (16):

  equation452

La partie scalaire de l'intégrale apparaissant dans (20) vaut d'après (17) et (19):

displaymath2530

La partie non scalaire est:

displaymath2531

Donc:

  equation482

ce qui permet de déterminer y(s) à l'aide de (14) puis w(x(t)) à l'aide de (11). D'où le:

   th496

En appliquant le théorème 5, on peut maintenant calculer la ``phase de Berry'' (cf. la définition 3) de la géodésique:

   th540



Bernard Parisse
Tue Mar 25 14:27:08 MET 1997