Revenons à (13). On remarque tout d'abord que y est de norme
constante. De plus y est une section du sous-fibré vectoriel de rang
2, dont la base est la géodésique d'Agmon 
et dont la fibre
est Ker 
.
Considérons maintenant une géodésique d'Agmon reliant 2 puits. La fibre étant identique au départ et à l'arrivée, il est naturel de comparer y aux deux puits. En fait on verra que le produit scalaire en un point de la géodésique de deux solutions BKW issues de ces deux puits fait justement intervenir la variation d'une solution y d'un puits à l'autre (cf. lemme 11).
On se donne donc deux puits non dégénérés 
et 
de même nature reliés par une géodésique
pour la distance d'Agmon associée au potentiel V.
Il s'agit bien évidemment d'une application linéaire, qui est d'ailleurs
unitaire. De plus, cet endomorphisme possède une propriété de
symétrie supplémentaire: il commute avec l'opérateur antilinéaire
de Kramers. Ce dernier est défini sur 
par:
et s'étend de manière évidente à 
.
L'égalité 
vient du fait que K commute
avec l'opérateur de Dirac.
Soit donc 
une valeur propre de 
et u un vecteur
propre associé. Alors Ku est aussi un vecteur propre associé
à 
. Comme (Ku|u)=0, est diagonalisable
de valeurs propres et , chacune de
multiplicité 1 (ou de multiplicité 2 si est réel).
Comme 
puisque est unitaire, on associe
naturellement à l'argument de , c'est en quelque
sorte la phase de Berry de la géodésique.
