Des nombres congruents aux courbes elliptiques.

Le but sera avant tout de montrer comment les courbes elliptiques (introduite par Michel lors d'un précédent séminaire compréhensible) apparaissent naturellement lors de la résolution de problème classiques de théorie des nombres. Pour cela, nous nous concentrerons sur un problème particulier, les nombres congruents.

Un nombre congruent est un entier n, aire d'un triangle rectangle à cotés de longueurs rationnelles. Autrement dit, peut on trouver $(X,Y,Z)$ dans $Q^3$ tels que $X^2+Y^2=Z^2 et XY/2=n?$ (par exemple 6 est un nombre congruent car le triplet (3,4,5) correspond aux longueurs des cotés d'un triangle rectangle d'aire 6)

Le problème de caractérisation de ces nombres était déjà abordé au temps de Pythagore bien entendu mais aussi d'Euclide et de Diophante. Il a ensuite été étudié de manière plus systématique par les arabes au Xe siècle

Ce problème n'a reçu une réponse presque complète que dans les années 80, sous la forme du théorème de Tunnell (1983)

dans un premier temps, nous ferons donc le lien entre nombres congruents et existence de points sur certaines courbes elliptiques.
Nous introduirons la fonction $L$ de Hasse Weil, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer afin d'aboutir en fin de compte au théorème de Tunnell.