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Dérivée de Lie.

  La donnée d'un champ de vecteurs va définit un groupe à un paramètre de difféomorphismes, le flot tex2html_wrap_inline5301 de va, tel que:

displaymath5287

C'est-à-dire que la courbe tex2html_wrap_inline5305 paramétrée par t admet comme vecteur vitesse à l'instant t le vecteur va (figure 4, p. gif).

   figure1800
Figure: Le flot d'un champ de vecteur.

  rem1806

  defi1817

Exemple: dérivée de Lie selon v d'un champ de vecteur w. Graphiquement, on représente le champ de vecteurs w au point M par tex2html_wrap_inline5347 , on suit alors le flot de v en partant du point M et du point tex2html_wrap_inline5353 , ce qui déforme le vecteur w (figure 5, p. gif). (Bien entendu, il faut choisir le point tex2html_wrap_inline5353 très voisin de M dans la direction de w(M)).

   figure1833
Figure: Transformation d'un vecteur le long du flot d'un autre champ de vecteurs.

Calculons en coordonnées locales tex2html_wrap_inline5363 . On a:

displaymath5289

Donc:

eqnarray1846

et:

displaymath5290

ou en coordonnées:

displaymath5291

finalement la dérivée de Lie d'un champ de vceteur est égale au crochet de Lie de ce champ de vecteurs avec le champ par rapport auquel on dérive:

displaymath5292



Bernard Parisse
Tue Mar 25 10:25:51 MET 1997