Preuve:
Commençons par l'unicité. Si d et d' satisfont aux exigences
du théorème, alors d=d' sur les fonctions, de plus
car d2=d'2=0. Puis:
donc d'=d car tout tenseur antisymétrique est localement
combinaison linéaire finie de tenseur du type
.
Il suffit donc de prouver l'existence locale de d, donc de vérifier que
la formule (12) définit une dérivation d'ordre
1 telle que d2=0.
où f(j,k)=j-1 si j<k et f(j,k)=j-2 si j>k. Ce qui donne d2T=0 car les termes (j,k) et (k,j) de la somme s'annulent.
Dernier point à vérifier: d est une dérivation d'ordre 1, i.e.
Pour simplifier les notations, on adopte la convention que si on recouvre
par le signe un indice d'un ensemble d'indice, c'est qu'il
faut le retirer de l'ensemble d'indice, par exemple:
On a alors:
où la somme porte sur et
. Remarquons que si
,
il faut décaler les indices du terme général de la somme en:
On peut décomposer ce terme général en deux, en faisant porter
la dérivation sur T ou sur R. Il s'agit d'identifier avec
dans le premier cas et avec
dans
le second. Or:
où la somme porte sur et sur
.
A un tel couple
, nous allons faire correspondre
un triplet
où
est une permutation fixant k, qu'on identifie naturellement avec
une permutation de
: on pose
et
de telle sort que:
Comme est un cycle de longueur
donc
Le terme général de la somme de devient si k>t+1
Si , le terme général s'écrit:
On déplace ensuite le trou à sa place entre
et
, on constate que
ce terme général ne dépend plus de
, on somme donc par rapport
à
qui donne un facteur t+1 que l'on simplifie
avec 1/(t+1)! en 1/t! et on obtient le terme général
de la somme de
lorsqu'on fait porter la dérivation
sur T.
De même,
où la somme porte sur et sur
.
On effectue la même correspondance que ci-dessus, on obtient donc
le terme général de
lorsqu'on fait porter
la dérivation sur R multiplié par (-1)t.
Exercices
est une dérivation d'ordre r+r'.
Montrer que si deux dérivations d'ordre supérieur ou égal à -1 coincident sur les fonctions et sur les 1-formes, alors elles coincident sur toutes les formes différentielles. Montrer que si deux dérivations d'ordre positif coincident sur les fonctions et commutent avec d alors elles sont égales.
Solution du 3eme exercice:
On a:
et l'analogue pour le k-vecteur:
donc: