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Produit intérieur par un champ de vecteurs.

 

  defi1332

Exemple:
Si v a pour coordonnées (v1,v2) dans la base duale de la base (dx1,dx2,...) alors:

displaymath4966

   defi1350

  prop1363

Preuve:

  eqnarray1367

On décompose alors la somme en regardant si tex2html_wrap_inline5011 ou à tex2html_wrap_inline5013 . Dans le premier cas, l'indice a1 est dans le tenseur T et dans le deuxième cas dans le tenseur R.

Premier cas:
Si tex2html_wrap_inline5021 , on associe à tex2html_wrap_inline4841 la permutation tex2html_wrap_inline5025 en posant

displaymath4968

(si k=1, on pose tex2html_wrap_inline5029 ), on peut réécrire tex2html_wrap_inline4841 sous la forme:

displaymath4969

Si tex2html_wrap_inline5021 , on a tex2html_wrap_inline5035 , donc

displaymath4970

car T est antisymétrique. Si k=1, l'égalité entre les deux extrêmes est évidente. Donc la première partie de la somme (11) s'écrit:

eqnarray1404

Deuxième cas:
On associe tex2html_wrap_inline4905 à tex2html_wrap_inline4841 comme dans le premier cas, et on obtient comme terme général de la somme:

displaymath4971

On fait alors le changement d'indice de sommation:

displaymath4972

le terme général s'écrit alors:

displaymath4973

On utilise enfin l'antisymétrie du tenseur R, la deuxième partie de la somme s'écrit:

displaymath4974

qui est bien égal à tex2html_wrap_inline5047 .

  rem1455



Bernard Parisse
Tue Mar 25 10:25:51 MET 1997