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Définition des tenseurs

  On va poursuivre le point de vue développé à la section 1.5 et considérer la variété

displaymath4681

où l'on a fait k produits de T*mM et l produits de TmM. On appelle tenseur de type (k,l) la donnée d'une application tex2html_wrap_inline3651 et multilinéaire de T(k,l)M sur tex2html_wrap_inline3665 (i.e. linéaire par rapport à chaque T*mM et à chaque TmM). Par dualité, un tenseur de type (k,l) est une section de

displaymath4682

les champs de vecteurs sont des tenseurs de type (1,0) et les champs de 1-forme des tenseurs de type (0,1). Les tenseurs de type (k,0) sont dits contravariants, ceux de type (0,l) sont dits covariants.

A l'aide d'un tenseur de type (k,l) et d'un tenseur de type (k',l') on peut construire un tenseur de type (k+k',l+l') en en faisant le produit (tensoriel). Grâce à la linéarité, tout tenseur de type (k,l) est une somme de produits tensoriels de k champs de vecteurs par l 1-formes, donc la dimension de T(k,l)mM est nk+l, puisque si T est un tenseur de type (k,l), il existe nk+l réels tels que (en coordonnées locales):

  equation942

Lorsqu'on change de systèmes de coordonnées, on obtient les nouvelles composantes en fonction des anciennes en appliquant les formules de changement de coordonnées pour les champs de vecteurs et de 1-formes (4) et (5) dans (7):

displaymath4683

Les composantes d'un tenseur T de type (k,l) sont donc les

displaymath4684

avec tex2html_wrap_inline4751 .

Convention:
Lorsqu'on a des égalités entre composantes de tenseurs, on utilise des lettres romaines comme indice si l'égalité est valable dans tout système de coordonnées (c'est alors une égalité entre tenseurs) et des lettres grecques si l'égalité n'est valable que dans un système de coordonnées.

Par exemple, considérons le tenseur tex2html_wrap_inline4753 , on a:

displaymath4685

car l'égalité composante par composante est vraie dans n'importe quel système de coordonnées, pas seulement dans le système (x1,...,xn). Par contre, l'égalité

displaymath4686

n'est vraie que dans le système de coordonnées (x1,...,xn) car ce n'est que dans ce système que toutes les composantes de ce tenseur sont 0 ou 1, donc on utilise les lettres grecques.

On adopte donc pour un champ de vecteur la notation vc et pour un champ de 1-formes wc .

  defi1022

En coordonnées, on a:

eqnarray1028

donc:

  equation1049

  rem1059


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Bernard Parisse
Tue Mar 25 10:25:51 MET 1997