c'est également le dual de TmM car toute forme linéaire de TmM
est la différentielle d'une fonction (il
suffit de le montrer en coordonnées locales, et dans le cas d'un
ouvert de
, il suffit de prendre pour f la forme linéaire
elle-même).
Figure: Représentation d'une 1-forme dans .
On représente la forme linéaire par ses lignes de niveaux (cf.
figure 2, ).
La valeur de la forme linéaire sur un vecteur se calcule en regardant
à quelle courbe de niveau appartient l'extrémité du vecteur.
Ici f(v2)=0 et
.
Preuve:
Soit O un ouvert de M contenant m, source de la carte locale x
à valeurs dans l'ouvert . On en déduit
une carte locale dite carte naturelle de T*M définie sur
:
Il reste à vérifier que deux cartes naturelles sont
compatibles sur leur domaine commun de définition. Soit donc
y une autre carte de M et déterminons
.
Soit
, (m,dmf) son image
réciproque par T*x, et
l'image de (m,dmf)
par T*y. On a:
Comme les cartes x et y sont compatibles, est
. Il reste à exprimer
de manière
en fonction de
et de x(m). Pour cela, on utilise la
linéarité de dmf et le changement de carte pour un vecteur
tangent (4):
d'où l'on tire:
ou encore:
qui est bien une fonction de
et de m.