Application à l'effet d'Aharonov-Bohm.

  Nous améliorons ici le résultat du deuxième auteur (cf. [4]) sur le découplage des valeurs propres par un effet de type Aharonov-Bohm, sans faire d'hypothèse de type non relativiste. Il s'agit de l'analogue dans le cas de l'opérateur de Dirac du travail de B.Helffer ([1]) pour l'opérateur de Schrödinger.

Rappelons brièvement le problème considéré: on considère un opérateur de Dirac avec potentiel électrique et champ magnétique ayant les propriétés suivantes:

• le champ électrique possède un puits de potentiel en un point P, on s'intéresse au spectre de l'opérateur de Dirac pour des valeurs de l'énergie correspondant àu puits P,
• le champ magnétique est nul sauf dans un cylindre. On suppose que le cylindre est situé dans unz zone classiquement interdite, à une distance d'Agmon S' de P,
• il existe un unique lacet contenant P et encerclant le cylindre de longueur d'Agmon S minimale parmi les lacets contournant la zone magnétisée,
• S<2S'. C'est-à-dire que si on modifie le potentiel dans le cylindre l'effet sur les valeurs propres est négligeable devant e^-S/h .

On s'aperçoit alors que l'effet du champ magnétique, bien que confiné dans le cylindre, est de l'ordre de e^-S/h, plus précisément une valeur propre double en l'absence de champ magnétique se transforme en deux valeurs propres reliées à (sous certaines hypothèses de non-dégénérescence du lacet minimal, hypothèses qui sont précisées dans [4]) par:

où a(h) et b(h) sont des symboles semi-classiques et est le flux du champ à travers le lacet. On montre que les symboles principaux de a(h) et de b(h) sont proportionnels respectivement à la partie réelle et imaginaires de la valeur propre de l'isomorphisme du lacet contournant la zone magnétisée pris au point situé à mi-distance d'Agmon sur ce lacet. On peut donc les calculer à l'aide du théorème (6) lorsque le lacet minimal reste dans un plan, et cela sans supposer comme dans [4, Théorème 2,] que l'on est en limite non relativiste. De plus le théorème 7 permet d'affirmer qu'il existe de nombreux exemples de potentiels pour lesquels les valeurs propres sont distinctes, puisque leur différence est proportionnelle à .

Remerciements.

Le second auteur tient à remercier Luc Rozoy pour les éclaircissements qu'il lui a apporté en géométrie, lui permettant d'aboutir au théorème 7. Ces deux théorèmes suffisent à prouver la non-nullité générique du découplage entre valeurs propres des sections 5 et 6, mais nous n'avons pas su répondre à une question plus ambitieuse:
Existe-t-il des potentiels périodiques dont la géodésique d'Agmon reliant les puits les plus proches soit convexe (i.e. de courbure de signe constant)?