Simpson

Il s'agit de la méthode obtenue en approchant la fonction sur la subdivision [$\alpha$,$\beta$] par son polynome de Lagrange aux points $\alpha$,($\alpha$ + $\beta$)/2,$\beta$. On obtient (exercice à faire avec un logiciel de calcul formel) la formule sur une subdivision

I(f )= $${\frac{{h}}{{6}}}$$(f ($$\alpha$$) + 4f ($${\frac{{\alpha+\beta}}{{2}}}$$) + f ($$\beta$$))

et sur [a, b] :

$${\frac{{h}}{{6}}} \left(\vphantom{ f(a)+f(b)+ 4 \sum_{j=0}^{n-1} f(a+jh+\frac{h}{2}) + 2 \sum_{j=1}^{n-1} f(a+jh) }\right. \sum_{{j=0}}^{{n-1}} {\frac{{h}}{{2}}} \sum_{{j=1}}^{{n-1}} \left.\vphantom{ f(a)+f(b)+ 4 \sum_{j=0}^{n-1} f(a+jh+\frac{h}{2}) + 2 \sum_{j=1}^{n-1} f(a+jh) }\right)$$ (12)

Si on intègre t³ sur [0, 1] en 1 subdivision par cette méthode, on obtient

$${\frac{{1}}{{6}}}$$(0 + 4$${\frac{{1}}{{2^3}}}$$ +1) = $${\frac{{1}}{{4}}}$$

c'est-à-dire le résultat exact, ceci est aussi vérifié pour f polynome de degré inférieur ou égal à 2 puisque l'approximation de Lagrange de f est alors égale à f. On en déduit que la méthode de Simpson est d'ordre 3 (pas plus car la méthode de Simpson appliquée à l'intégrale de t⁴ sur [0, 1] n'est pas exacte). On peut même améliorer la constante générale de la section précédente pour la majoration de l'erreur en :

|$$\int_{a}^{b}$$f - I(f )| $$\leq$$ $${\frac{{h^4}}{{2880}}}$$(b - a)M₄

Cette méthode nécessite 2n + 1 évaluations de f (le calcul de f est un point étant presque toujours l'opération la plus couteuse en temps d'une méthode de quadrature), au lieu de n pour les rectangles et le point milieu et n + 1 pour les trapèzes. Mais on a une majoration en h⁴ au lieu de h² donc le ``rapport qualité-prix'' de la méthode de Simpson est meilleur, on l'utilise donc plutot que les méthodes précédentes sauf si f n'a pas la régularité suffisante (ou si M₄ est trop grand).