Ordre d'une méthode

On appelle méthode d'intégration l'écriture d'une approximation de l'intégrale sur une subdivision sous la forme

$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$f (t)dt $$\approx$$ I(f )= $$\sum_{{j=1}}^{k}$$w_jf (y_j)

où les y_j sont dans l'intervalle [$\alpha$,$\beta$], par exemple équirépartis sur [$\alpha$,$\beta$].

On dit qu'une méthode d'intégration est d'ordre n si il y a égalité ci-dessus pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à n et non égalité pour un polynôme de degré n + 1. Par exemple, les rectangles à droite et gauche sont d'ordre 0, le point milieu et les trapèzes sont d'ordre 1. Plus générallement, si on approche f par son polynôme d'interpolation de Lagrange en n + 1 points (donc par un polynôme de degré inférieur ou égal à n), on obtient une méthode d'intégration d'ordre au moins n.

Si une méthode est d'ordre n avec des w_j $\geq$ 0 et si f est n + 1 fois continument dérivable, alors sur une subdivision, on a :

$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}} \leq {\frac{{(\beta-\alpha)^{n+2}}}{{(n+1)!}}} {\frac{{1}}{{n+2}}}$$ (11)

En effet, on fait le développement de Taylor de f par exemple en $\alpha$ à l'ordre n

$${\frac{{(t-\alpha)^{n+1}}}{{(n+1)!}}} \theta_{t}^{}$$ f (t) =

$$\alpha \alpha \alpha {\frac{{(t-\alpha)^{n}}}{{n!}}} \alpha$$ T_n(f ) =

Donc

|$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$f - $$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$T_n(f )| $$\leq$$ $$\int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$$${\frac{{(t-\alpha)^{n+1}}}{{(n+1)!}}}$$| f^[n+1]($$\theta_{t}^{}$$)| $$\leq$$ M_n+1$${\frac{{(t-\alpha)^{n+2}}}{{(n+2)!}}}$$

De plus,

| I(f )- I(T_n(f ))| = | I$$\left(\vphantom{ f^{[n+1]}(\theta_t) \frac{(t-\alpha)^{n+1}}{(n+1)!} }\right.$$f^[n+1]($$\theta_{t}^{}$$)$${\frac{{(t-\alpha)^{n+1}}}{{(n+1)!}}}$$$$\left.\vphantom{ f^{[n+1]}(\theta_t) \frac{(t-\alpha)^{n+1}}{(n+1)!} }\right)$$| $$\leq$$ $$\sum_{{j=1}}^{k}$$| w_j| M_n+1$${\frac{{(\beta-\alpha)^{n+1}}}{{(n+1)!}}}$$

Donc comme la méthode est exacte pour T_n(f ), on en déduit que

$$\int_{{\alpha}}^{{\beta}} \int_{{\alpha}}^{{\beta}} \int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$ =

$$\leq \int_{{\alpha}}^{{\beta}} \int_{{\alpha}}^{{\beta}}$$

$$\leq {\frac{{(\beta-\alpha)^{n+2}}}{{(n+2)!}}} \sum_{{j=1}}^{k} {\frac{{(\beta-\alpha)^{n+2}}}{{(n+2)!}}}$$

Si les w_j $\geq$ 0, alors $\sum_{{j=1}}^{k}$| w_j| = $\sum_{{j=1}}^{k}$w_j = $\beta$ - $\alpha$ et on obtient finalement (11)

Après sommation sur les n subdivisions, on obtient que pour une méthode d'ordre n à coefficients positifs 

|$$\int_{{a}}^{{b}}$$f - I(f )| $$\leq$$ M_n+1$${\frac{{h^{n+1}}}{{(n+1)!}}}$$(b - a)($${\frac{{1}}{{n+2}}}$$ + 1)

On observe que cette majoration a la bonne puissance de h sur les exemples déja traités, mais pas forcément le meilleur coefficient possible, parce que nous avons traité le cas général d'une méthode d'ordre n.