Série alternée

Théorème 6   Soit S_n = $\sum_{{k=0}}^{n}$(- 1)^ku_k la somme jusqu'au rang n d'une série de réels tels que la suite des u_k décroit à partir d'un rang n₀ et tend vers 0 lorsque k $\rightarrow$ + $\infty$. Alors S_n converge vers une limite S. Si n $\geq$ n₀, la limite est comprise entre deux sommes partielles succesives S_n et S_n+1 et le reste est majoré par la valeur absolue du premier terme non sommé :

| R_n| $$\leq$$ | u_n+1|

Démonstration :
on montre que les suites v_n = S_2n et w_n = S_2n+1 sont adjacentes. On a

v_n+1 - v_n = S_2n+2 - S_2n = (- 1)²ⁿ⁺²u_2n+2 + (- 1)²ⁿ⁺¹u_2n+1 = u_2n+2 - u_2n+1 $$\leq$$ 0

donc v_n est décroissante, de même w_n est croissante, et v_n - w_n = u_2n+1 est positif et tend vers 0. On en déduit que v_n et w_n convergent vers la même limite S telle que v_n > S > w_n et les inégalités du théorème s'en déduisent.

Remarque
lorsqu'on utilise une suite alternée pour trouver une valeur approchée, il faut que u_n tende assez vite vers 0, sinon il y aura perte de précision sur la mantisse lorsqu'on effectuera u_2n - u_2n+1. On sommera aussi les termes par ordre décroissant pour diminuer les erreurs d'arrondi.