Développement de Taylor, séries entières, fonctions usuelles

Résumé: Séries entières. Calcul des fonctions transcendantes usuelles.

Soit f une fonction indéfiniment dérivable sur un intervalle I de $\mathbb {R}$ et x₀ $\in$ I. On peut alors effectuer le développement de Taylor de f en x₀ à l'ordre n

T_n(f )(x) = f (x₀) + (x - x₀)f'(x₀) + ... + (x - x₀)ⁿ$${\frac{{f^{[n]}(x_0)}}{{n!}}}$$

et se demander si T_n(f ) converge lorsque n tend vers l'infini, si la limite est égale à f (x) et si on peut facilement majorer la différence entre f (x) et T_n(f )(x). Si c'est le cas, on pourra utiliser T_n(f )(x) comme valeur approchée de f (x).

On peut parfois répondre à ces questions simultanément en regardant le développement de Taylor de f avec reste : il existe $\theta$ compris entre x₀ et x tel que

R_n(x) : = f (x) - T_n(f )(x) = (x - x₀)ⁿ⁺¹$${\frac{{f^{[n+1]}(\theta)}}{{(n+1)!}}}$$

C'est le cas pour la fonction exponentielle que nous allons détailler, ainsi que les fonctions sinus et cosinus.