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Développement de Taylor, séries entières, fonctions usuelles

Résumé: Séries entières. Calcul des fonctions transcendantes usuelles.

Soit f une fonction indéfiniment dérivable sur un intervalle I de $ \mathbb {R}$ et x0 $ \in$ I. On peut alors effectuer le développement de Taylor de f en x0 à l'ordre n

Tn(f )(x) = f (x0) + (x - x0)f'(x0) + ... + (x - x0)n$\displaystyle {\frac{{f^{[n]}(x_0)}}{{n!}}}$

et se demander si Tn(f ) converge lorsque n tend vers l'infini, si la limite est égale à f (x) et si on peut facilement majorer la différence entre f (x) et Tn(f )(x). Si c'est le cas, on pourra utiliser Tn(f )(x) comme valeur approchée de f (x).

On peut parfois répondre à ces questions simultanément en regardant le développement de Taylor de f avec reste : il existe $ \theta$ compris entre x0 et x tel que

Rn(x) : = f (x) - Tn(f )(x) = (x - x0)n+1$\displaystyle {\frac{{f^{[n+1]}(\theta)}}{{(n+1)!}}}$

C'est le cas pour la fonction exponentielle que nous allons détailler, ainsi que les fonctions sinus et cosinus.



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