Séries entières.

Les séries de type prendre la limite lorsque n tend vers l'infini du développement de Taylor en x=0 sont de la forme

$$\sum_{{n=0}}^{\infty}$$a_nxⁿ : = $$\lim_{{ k \rightarrow +\infty}}^{}$$$$\sum_{{n=0}}^{k}$$a_nxⁿ, a_n = $${\frac{{f^{[n]}(0)}}{{n!}}}$$

On peut s'intéresser plus générallement à $\sum_{{n=0}}^{\infty}$a_nxⁿ lorsque a_n est un complexe quelconque, c'est ce qu'on appelle une série entière, on peut aussi les voir comme des polynômes généralisés.

S'il existe un point x₀ tel que | a_nx₀ⁿ| est borné (ce sera le cas en particulier si la série converge en x₀), alors

| a_nxⁿ| = | a_nx₀ⁿ||$${\frac{{x}}{{x_0}}}$$|ⁿ $$\leq$$ M|$${\frac{{x}}{{x_0}}}$$|ⁿ

la série converge donc en x si | x| < | x₀| et on peut majorer le reste de la série au rang n par

| R_n| $$\leq$$ M$${\frac{{ \vert\frac{x}{x_0}\vert^n}}{{1-\vert\frac{x}{x_0}\vert}}}$$

la vitesse de convergence est donc du même type que pour le théorème du point fixe (le nombre de termes à calculer pour trouver une valeur approchée avec k décimales dépend linéairement k, les constantes sont d'autant plus grandes que | x| est grand).

Théorème 5   S'il existe un rang n₀, un réel M > 0 et un complexe x₀ tels que pour n > n₀, on ait :

| a_nx₀|ⁿ $$\leq$$ M

alors la série converge pour | x| < | x₀| et pour n $\geq$ n₀, on a :

$$\leq {\frac{{ \vert\frac{x}{x_0}\vert^n}}{{1-\vert\frac{x}{x_0}\vert}}}$$ (3)

On en déduit qu'il existe un réel positif R $\geq$ 0 éventuellement égal à + $\infty$ tel que la série converge (la limite de la somme jusqu'à l'infini existe) lorsque | x| < R et n'existe pas lorsque | x| > R, ce réel est appelé rayon de convergence de la série. Par exemple ce rayon vaut + $\infty$ pour l'exponentielle, le sinus ou le cosinus. Il est égal à 1 pour la série géométrique $\sum$xⁿ (car elle diverge si | x| > 1 et converge si | x| < 1). On ne peut pas dire ce qui se passe génériquement lorsqu'on est à la limite, c'est-à-dire lorsque | x| = R (si R $\neq$ + $\infty$). Mais cela n'a en fait pas trop d'importance en pratique car même si la série converge, elle converge souvent trop lentement pour donner de bonnes approximations. En fait, la vitesse de convergence d'une série entière de rayon R $\neq$ + $\infty$ est en gros la même que celle d'une série géométrique de raison | x|/R.

Lorsque 2 séries ont un rayon de convergence non nul, alors on peut effectuer leur somme, leur produit comme des polynômes et la série somme/produit a un rayon de convergence au moins égal au plus petit des 2 rayons de convergence des arguments. On peut inverser une série entière non nulle en 0 en appliquant

(1 + x)^-1 = 1 - x + x² - x³ + ...

et on obtient une série entière de rayon de convergence non nul. On peut aussi composer deux séries entières g et f en gof (avec les règles de calcul de composition des polynômes) si f (0) = 0. On peut enfin dériver et intégrer une série entière terme à terme dans son rayon de convergence.

On dit qu'une fonction est développable en série entière en 0 si elle est égale à son développement de Taylor en 0 sommé jusqu'en l'infini dans un disque de centre 0 et de rayon non nul. Les fonctions exponentielle, sinus, cosinus sont donc développables en série entière en 0. La fonction tangente également car le dénominateur cosinus est non nul en 0, mais son rayon de convergence n'est pas l'infini et le calcul des a_n est assez complexe. La fonction (1 + x)^$\alpha$ est développable en séries entières pour tout $\alpha$ $\in$ $\mathbb {R}$ avec un rayon de convergence 1 (ou l'infini pour $\alpha$ entier positif).

(1 + x)^$\alpha$ = 1 + $$\alpha$$x + $${\frac{{\alpha (\alpha-1)}}{{2!}}}$$x² + ... + $${\frac{{\alpha (\alpha-1) ... (\alpha -n +1)}}{{n!}}}$$xⁿ + ...

Pour $\alpha$ = - 1, c'est la série géométrique de raison - x, en effet si | x| < 1 :

$$\sum_{{n=0}}^{k}$$(- x)ⁿ = $${\frac{{1-(-x)^{k+1}}}{{1+x}}}$$ $$\rightarrow_{{k\rightarrow \infty}}^{}$$ $${\frac{{1}}{{1+x}}}$$

En intégrant par rapport à x, on obtient que ln(1 + x) est développable en série entière en 0 de rayon de convergence 1 et

ln(1 + x) = $$\sum_{{n=0}}^{\infty}$$$${\frac{{(-x)^{n+1}}}{{n+1}}}$$

On peut calculer de manière analogue le développement en série entière de arctan(x) en iintégrant celui de 1/(1 + x²), de même pour arccos(x) et arcsin(x) en intégrant celui de (1 - x²)^-1/2.

arctan(x) = $$\sum_{{n=0}}^{\infty}$$(- 1)ⁿ$${\frac{{x^{2n+1}}}{{2n+1}}}$$,

On peut donc calculer ln, arctan, ... par ces formules, mais il faut répondre à la question où arrête-t-on la somme pour obtenir une précision donnée? Dans le cas de ln(1 + x), on pourrait répondre comme avec l'exponentielle en majorant la dérivée n + 1-ième, mais ce n'est plus faisable pour arctan, arcsin, arccos. On va donner un autre critère qui ne nécessite pas de calculer cette dérivée mais utilise l'alternance des signes dans la somme.