Exercices

Exercice 1 (à rendre à la fin de la 1ère séance de ce TP)
Écrire $S(x)$, le développement en séries entières au voisinage de $x=0$ de $\cos(x)$.
Tracer sur un même graphique les graphes des fonctions suivantes :

$$f(x) = \cos(x),$$

$$f_1(x) = 1,$$

$$f_2(x) = 1-\frac{x^2}{2!}$$

$$f_3(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}$$

$$f_4(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}$$

Graphiquement on voit que $f_4(x)$ approche $\cos(x)$ : sur quel intervalle cette approximation vous paraît-elle acceptable ?
Donner une majoration du reste $R_4(x)$ de cette série $S(x)$. De façon plus précise, $f_4(x)$ approche $\cos(x)$ pour $x \in [-1,1]$ avec quelle erreur ?
En déduire un encadrement de $\cos(1)$.

Exercice 2 (à rendre à la fin de la 1ère séance de ce TP)
On veut approcher sur l'intervalle $[0;\pi]$ $\cos(x)$ à $10^{-6}$ près par son développement en séries entières au voisinage de $x=0$. Déterminer le plus petit $k$ pour que :

$$f_k(x)=\sum_{j=0}^k (-1)^{j}\frac{x^{2j}}{(2j)!}$$

réalise cette approximation.
Calculer avec cette méthode $\cos(3)$, puis calculer $-\cos(\pi-3)$ en utilisant une valeur approchée de $\pi$ à $10^{-10}$ près.
Comparez les approximations obtenues.