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Exercice 3 (à rendre au début du TP5)
On veut calculer

$$I=\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x} \ dx$$

Écrire le développement en séries entières au voisinage de $x=0$ de :

$$g(x)=\frac{\sin(x)}{x}$$

Écrire $I$ sous la forme d'une série de terme général $v_j$.
Soit $R_n$ le reste de cette série :

$$R_n=\sum_{j=n+1}^\infty v_j$$

trouver une majoration de $\vert R_n\vert$. Quelle est l'aproximation obtenue pour la valeur de $I$ lorsqu'on utilise comme approximation de $I,\ \sum_{j=0}^k v_j$? Donner un encadrement de $I$ obtenu en prenant $k=10$.

Exercice 4 (à rendre au début du TP5)
On veut calculer

$$I=\int_0^\frac{1}{2} \frac{1}{(1+x^4)^{1/3}}dx$$

Écrire le développement en séries entières au voisinage de $x=0$ de :

$$g(x)=\frac{1}{(1+x^4)^{1/3}}$$

Écrire $I$ sous la forme d'une série de terme général $v_n$.
En déduire une valeur de $I$ à $10^{-6}$ près.

Exercice 5 (à rendre au début du TP5)
Écrire le développement en séries entières au voisinage de $x=0$ de :

$$\theta(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\int_0^x e^{-t^2} dt$$

En déduire une valeur de $\theta (1)$ à $10^{-3}$ près.