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Application à un potentiel périodique sur un réseau.

  Il s'agit ici de corriger une erreur dans notre article [2] (voir l'erratum). On considère la situation suivante:

Soit tex2html_wrap_inline3272 le réseau dual de tex2html_wrap_inline2590 et soit tex2html_wrap_inline3276 . Soit tex2html_wrap_inline3278 l'ensemble des fonctions de L2(F) qui se prolongent en une fonction sur tex2html_wrap_inline3250 vérifiant les conditions de périodicité:

displaymath3215

Alors l'opérateur tex2html_wrap_inline3284 défini sur tex2html_wrap_inline3286 par l'action de DV(h) admet un spectre discret et le spectre de DV(h) est la réunion, lorsque tex2html_wrap_inline3292 parcourt tex2html_wrap_inline3294 de ces spectres.

On s'intéresse maintenant à la partie du spectre de DV(h) proche de E=0. Considérons le problème à un puits D1 obtenu à partir de DV en ``bouchant'' tous les puits de potentiels de V sauf celui situé à l'origine (en pratique, on définit un potentiel tex2html_wrap_inline2282 égal à V sauf sur des boules de taille tex2html_wrap_inline2592 centrées sur tex2html_wrap_inline3312 où l'on augmente [respectivement diminue] tex2html_wrap_inline2282 si V(0)=-1 [respectivement V(0)=1]). Soient u1 et u2=Ku1 une base de fonctions propres de D1 correspondant à une énergie tex2html_wrap_inline3326 et soit tex2html_wrap_inline3328 une troncature à support compact dans F et valant 1 dans un voisinage de l'origine. Alors tex2html_wrap_inline3332 et tex2html_wrap_inline3334 forment un couple de quasi-modes indépendants de tex2html_wrap_inline3336 de quasi-énergie En(h). Ceci montre que le spectre de tex2html_wrap_inline3340 ne dépend que de manière exponentiellement faible de tex2html_wrap_inline3342 . Le spectre de DV au voisinage de E=0 est donc constitué de bandes de largeur exponentiellement petite. Il est alors naturel:

Pour cela, il suffit d'améliorer nos quasi-modes tex2html_wrap_inline3332 et tex2html_wrap_inline3334 puis de diagonaliser la matrice de D-En(h) dans cette base de quasi-modes.

Soit S la distance d'Agmon minimale entre deux points du réseau tex2html_wrap_inline2590 . On construit une nouvelle fonction de troncature tex2html_wrap_inline3328 telle que:

Pour fixer les idées, on peut observer que si les distances d'Agmon latérales, longitudinales et verticales du réseau tex2html_wrap_inline2590 sont du même ordre de grandeur, tex2html_wrap_inline3376 sur F , alors que tex2html_wrap_inline3380 sur tex2html_wrap_inline3312 . On ne peut plus prendre tex2html_wrap_inline3332 et tex2html_wrap_inline3334 comme quasi-modes car ils ne sont pas tex2html_wrap_inline3388 -Floquet périodiques (ci-dessus ils l'étaient car ils étaient nuls au bord de F). On les périodise donc en posant pour j=1,2:

displaymath3216

Pour x fixé, la somme sur tex2html_wrap_inline2226 est en fait finie car tex2html_wrap_inline3328 est à support compact. Comme on va le voir, les effets d'interactions sont de l'ordre de e-S/h. On va donc adopter la notation tex2html_wrap_inline3402 pour dire que:

Supposons pour fixer les idées que les deux points les plus proches de O pour la distance d'Agmon soient tex2html_wrap_inline3414 et tex2html_wrap_inline3416 : cf. figure 1, p. gif. Plus loin, on notera simplement tex2html_wrap_inline3418 et tex2html_wrap_inline3420 qui désignera donc selon le contexte un point ou un réel. Alors, sur F, on a:

eqnarray1229

Les valeurs propres tex2html_wrap_inline3424 de la matrice d'interaction tex2html_wrap_inline3426 sont donc équivalentes au sens ci-dessus aux tex2html_wrap_inline3428 . Comme sur F, on a:

displaymath3218

on en déduit:

displaymath3219

   figure1294
Figure 1: Calcul de la matrice d'interaction.

Supposons qu'il existe une unique géodésique l+ reliant O à tex2html_wrap_inline3416 . Alors la première intégrale est équivalente (au sens ci-dessus) à l'intégrale sur un voisinage tex2html_wrap_inline3438 de l'intersection de l+ et du support de tex2html_wrap_inline3442 . De même, la deuxième intégrale est équivalente à l'intégrale sur un voisinage tex2html_wrap_inline3444 de l'intersection du translaté l- par tex2html_wrap_inline3414 de l+ et du support de tex2html_wrap_inline3452 .

Pour évaluer ces deux intégrales, l'idée est de faire passer D-En(h) de l'autre côté, en utilisant le fait que D est formellement autoadjoint. Il ne restera alors que des termes de bord sur tex2html_wrap_inline3458 et tex2html_wrap_inline3460 puisque (D-En(h))uk=0. On évalue alors ces termes de bord en remplaçant les fonctions par leurs approximations BKW et en appliquant le théorème de la phase stationnaire, ce qui suppose une hypothèse de non-dégénérescence de la géodésique l+. Le terme (j,k) de la matrice d'interaction vaut alors d'après le théorème de Stokes:

displaymath3220

tex2html_wrap_inline3470 désigne la normale extérieure à tex2html_wrap_inline3472 exprimée dans la base tex2html_wrap_inline2542 et uBKWj,P désigne la solution BKW correspondant à uj issue du point P.

Soit tex2html_wrap_inline3484 . Sur la géodésique l+, on a d+(x)=S et tex2html_wrap_inline3490 . On suppose que l+ est non dégénérée, c'est-à-dire que la hessienne transversale de d+ est définie positive le long de l. Comme le terme exponentiel par rapport à h dans l'intégrale sur tex2html_wrap_inline3458 est justement e-d<<1353>>+(x)/h, le lemme de la phase stationnaire montre que le terme (j,k) de la matrice d'interaction admet un développement semi-classique dont le terme principal est:

eqnarray1354

tex2html_wrap_inline3506 désigne le point de tex2html_wrap_inline3508 tel que tex2html_wrap_inline3510 et wj,P désigne le symbole principal de la solution BKW issue de P correspondant à uj (c'est le terme w0 dans (4).

Pour utiliser la périodicité, on aimerait que tex2html_wrap_inline3522 . On choisit donc tex2html_wrap_inline3438 et tex2html_wrap_inline3444 de telle sorte que tex2html_wrap_inline3528 et tex2html_wrap_inline3530 (comme sur la figure). On obtient alors pour le terme (j,k):

displaymath3221

Pour faire le lien avec les sections précédentes, il faut exprimer des termes de la forme

displaymath3222

en fonction du vecteur tangeant tex2html_wrap_inline2538 à la géodésique. En fait:

displaymath3223

ne dépend pas de la direction de n+ mais uniquement du sens (sortant ou entrant). En effet, si l'angle entre n+ et le vecteur tangeant à la géodésique est tex2html_wrap_inline3540 , on a:

displaymath3224

(on le voit facilement en faisant un changment de coordonnées dans le plan engendré par n+ et t, et en faisant un développement limité à l'ordre 2 de (d+) '' en x+ ).

D'autre part, si n est un vecteur orthogonal à la géodésique, alors on applique (31):

displaymath3225

donc:

displaymath3226

On peut donc supposer que tex2html_wrap_inline3552 est le vecteur tangent à l+ orienté dans le sens des x1 décroissants et tex2html_wrap_inline3558 le vecteur tangent à l- orienté dans le sens des x croissants. Par périodicité, on a:

displaymath3227

En utilisant le fait que u2=Ku1 et les propriétés de l'opérateur de Kramers K, on montre que la matrice d'interaction est:

displaymath3228

Les valeurs propres de M sont les:

displaymath3229

où:

  equation1568

Finalement les valeurs propres tex2html_wrap_inline3570 sont:

  eqnarray1579

La bande de spectre centrée autour de En(h) n'est donc pas double génériquement. En fait, chaque valeur propre tex2html_wrap_inline3574 ou tex2html_wrap_inline3576 parcourt la même bande avec un déphasage par rapport à l'autre valeur propre.


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Bernard Parisse
Tue Mar 25 14:27:08 MET 1997