où et
sont les symboles
principaux de deux solutions BKW issues respectivement de
et
(on rappelle que
est le vecteur tangeant en un point de la géodésique d'Agmon
reliant
à
exprimé dans la
base de matrices
).
La preuve de ce résultat est purement calculatoire. La première égalité se prouve comme dans [4, équations (63), (64),]. On a:
car
. De plus
, donc:
D'où:
Passons à la deuxième égalité de (31). Comme
est normé et orthogonal à
, on a:
Donc, en posant :
On décompose maintenant les symboles BKW en leur partie norme et leur partie de type y. Il s'agit donc d'estimer des produits scalaires du type:
où et
sont solutions
déquations de transport du type (13). Il faut remarquer que
les abscisses curvilignes définies par (13) croissent en
sens opposés pour
et
. Si on
choisit le sens croissant pour
, alors:
Donc:
car anticommute avec les
(on
utilise aussi le fait que les
sont hermitiennes). Il
suffit donc d'estimer le produit scalaire en
. En
ce point, la situation est simple car
vaut
sur
Ker
et:
Finalement, il suffit de connaitre les solutions au puits dont elles sont issues.
Dans le calcul de la matrice d'interaction, prendra deux valeurs:
et
qui
forment une base de Ker
.
Preuve
Soit un vecteur propre normé de
associé à
. Il existe alors
et
tels
que:
Comme K est antilinéaire de carré -Id, on a alors:
Donc, comme est
orthonormée:
et:
On conclut alors aisément.