(III) Résultats

Théorème (O. Butterley, C. Liverani 2007)

Il existe un espace de Hilbert de distributions

$$C^{\infty}\left(\mathcal{E}\right)\subset\mathcal{H}\subset\mathcal{D}'\left(\mathcal{E}\right)$$

tel que le spectre de $\hat{H}:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ est discret. Les valeurs propres $\lambda_{j}=\alpha_{j}-i\beta_{j}$ sont appelées ``résonances de Ruelle''.

Conséquences

• Notons la décomposition spectrale (si spectre simple):

  $$\hat{H}=\sum_{j}\lambda_{j}\vert V_{j}\rangle\langle W_{j}\vert$$
  
  

  $V_{j},W_{j}$sont des distributions (cf + loin), et $\langle W_{j}\vert V_{k}\rangle=\delta_{j,k}$. En particulier $\lambda_{0}=1$, $V_{0}=W_{0}=1$.

• Alors
  $$\hat{F}_{t}=e^{-i\hat{H}t}=\sum_{j}e^{-i\lambda_{j}t}\vert V_{j}\... ...rt=\sum_{j}e^{-i\alpha_{j}t}e^{-\beta_{j}t}\vert V_{j}\rangle\langle W_{j}\vert$$
• donc
  
  $$C_{\varphi,\psi}\left(t\right)$$=$$\left\langle \varphi\vert\hat{F}_{t}\psi_{0}\right\rangle$$$$\underset{\simeq}{t\infty}$$$$\underbrace{\langle\varphi\vert 1\rangle\langle1\vert\psi\rangle}... ...\vert V_{j}\rangle\langle W_{j}\vert\psi\rangle}_{r\acute{e}gime\, transitoire}$$
  

  On obtient la propriété de ``mélange'' de $\psi_{t}$.
• Remarquer que
  $$\hat{F}_{t}\vert V_{k}\rangle=e^{-i\lambda_{k}t}\,\vert V_{k}\rangle$$
  on peut donc  interpréter $V_{k}$ comme des états métastables ou ``états de résonances".

• On a obtenu une évolution ``effective'' irréversible , ``émergente'', régie par un spectre discret de valeurs propres ( les résonances).  
     
  
• On connait encore très peu les propriétés de ces résonances. (on sait à peine montrer leur existence).
  
  
  

Théorème (J. Sjöstrand, F.Faure 2009):

Majoration du nombre de résonances pour $\alpha\gg1$:

$$\sharp\left\{ \lambda_{j},\,\Re\left(\lambda_{j}\right)\in[\alpha... ...)>-\beta\right\} =o\left(\alpha^{n-\frac{1}{2}}\right),\qquad n=\dim\mathcal{E}$$

La preuve utilise une analogie avec la mécanique quantique des systèmes ouverts

On a vu qu'une distribution $\psi_{t}\left(X\right)$ évolue d'après (2):

$$i\frac{d\psi}{dt}=\hat{H}\psi,$$   avec$$\qquad\hat{H}:=V\left(X\right)\left(-i\frac{d}{dX}\right)$$

Afin de comprendre le spectre de $\hat{H}$ (résonances de Ruelle), pensons

$$X\in\mathcal{E}\quad:$$"espace de configuration"           $$\psi\left(X\right)\quad:$$"fonction d'onde"           $$\hat{H}\quad:$$"opérateur Hamiltonien quantique"

D'après le ``principe de correspondance'' le ``Hamiltonien classique'' est:

$$H\left(X,K\right)=V\left(X\right)\, K$$

(rappel: on applique $\hat{H}$ sur un mode de Fourier $\psi_{K}\left(X\right)=e^{iKX}$), avec

$$espace\, de\, phase:\,\begin{cases} X\in\mathcal{E} & \qquad:\mbo... ...remath{dim3}}\\ K\in\mathbb{R}^{3} & \quad\mbox{variable impulsion}\end{cases}$$

Les équation de Hamilton classiques sont alors:

$$\begin{cases} \frac{dX}{dt} & =\frac{\partial H}{\partial K}... ...al H}{\partial X}=-\frac{\partial V}{\partial X}\, K\end{cases}$$

1ère equation: On retrouve (1).     2ème equation: dans l'espace $\mathcal{E}$,    $K$est un vecteur (co-)tangeant qui représente l'évolution entre trajectoires infiniment proches.

Dans l'espace de phase $\left(X,K\right)$:

les trajectoires ont un comportement "simple": elles diffusent sur un ``ensemble captif'' et fuient vers $\left\vert K\right\vert\rightarrow\infty$ c'est à dire vers les échelles microscopiques.
On peut maintenant comprendre les résonances de Ruelle.

Comme en phys. atomique (ou autre "système quantique ouvert"), où une onde lumineuse diffuse sur un atome (dans l'espace réel), révélant des états métastables appelées ``résonances quantiques'', dans le mécanisme de la fluorescence.  

         

Théorie de la diffusion

Il y a deux approches traditionelles pour la théorie de la diffusion. On utilise ici la 2ème.

1) Approche par la matrice $S\left (E\right )$ de ``Scattering'':

Comme dans les expériences, on observe le système depuis l'infini.

$$\psi_{out}=S\left(E\right)\psi_{in}$$

Ex: le modèle de Breit-Wigner d'une résonance isolée, donne une Lorentzienne

$$S\left(E\right)=\frac{1}{\left(E-\alpha\right)^{2}+\beta^{2}}=\frac{1}{\left\vert E-\left(\alpha-i\beta\right)\right\vert^{2}}$$

ayant un pôle en $E=\alpha-i\beta$.

2) Approche spectrale de Combes-Baslev (70'), théorie semiclassique de Helffer-Sjöstrand (85):

Dans certains espaces fonctionnels (distributions de Sobolev Anisotropes), une résonances est un état stationnaire $\psi$:

Dans ces espaces, le spectre de l'opérateur de transfert est discret, révélant une dynamique effective irréversible: on obtient ainsi le spectre de Ruelle.