Il existe un espace de Hilbert
de distributions
Notons la décomposition spectrale (si spectre simple):
On a vu qu'une distribution évolue
d'après
(2):
Afin de comprendre le spectre de (résonances de Ruelle),
pensons
D'après le ``principe de correspondance'' le ``Hamiltonien classique'' est:
(rappel: on applique
sur un mode de Fourier
),
avec
les trajectoires ont un comportement "simple": elles diffusent sur un ``ensemble captif''
et fuient
vers c'est à dire vers les
échelles
microscopiques.
On peut maintenant comprendre les résonances de Ruelle.
Comme en phys. atomique
(ou autre "système quantique ouvert"), où une onde lumineuse diffuse
sur un atome
(dans l'espace réel), révélant des états métastables appelées ``résonances quantiques'',
dans le mécanisme de la fluorescence.
Il y a deux approches traditionelles pour la théorie de la diffusion. On utilise ici la 2ème.
Comme dans les expériences, on observe le système depuis l'infini.
Ex: le modèle de Breit-Wigner d'une résonance isolée, donne une Lorentzienne
Dans certains espaces fonctionnels (distributions de Sobolev
Anisotropes),
une résonances est un état stationnaire :
Dans ces espaces, le spectre de l'opérateur de transfert est discret, révélant une dynamique effective irréversible: on obtient ainsi le spectre de Ruelle.