(II) La théorie de ``l'opérateur de transfert''

Opérateur de transfert de Ruelle

La théorie des ``opérateurs de transfert'' à été initiée en mathématique par D. Ruelle, D. Bowen, M. Pollicott (70', 80'), puis très étudiée et complétée ensuite par Rugh, Fried (90') , V. Baladi, C. Liverani ..  (00') , et en physique I. Prigogine (70'), P. Cvitanovic, P. Gaspard (90'), ...

 

L'idée est d'étudier l'évolution d'une distribution de points au lieu d'une trajectoire unique.

• Un point évolue sur une trajectoire $X\left(t\right)\in\mathcal{E}$ déterminée par
  $$\frac{dX}{dt}=V\left(X\right)$$

• Alors une distribution $\psi_{t}\left(X\right)$ évolue d'après $$\psi_{t}\left(X\right)=\psi_{0}\left(X\left(-t\right)\right)$$  
                          
• Alors:

  
  $$\frac{d\psi}{dt}$$$$=$$$$\left(\frac{d\psi}{dX}\right)\left(\frac{dX\left(-t\right)}{dt}\right)$$$$=$$ $$-V\left(X\right)\frac{d\psi}{dX}$$

$$\Longrightarrow\quad i\frac{d\psi}{dt}=\hat{H}\psi,$$   avec$$\quad\hat{H}:=V\left(X\right)\left(-i\frac{d}{dX}\right)$$  


$$\Longrightarrow\psi_{t}=\exp\left(-i\hat{H}t\right)\psi_{0}$$     avec

$$\hat{F}_{t}:=\exp\left(-i\hat{H}t\right)$$

  

• $\hat{F}_{t}$ est appelé opérateur de transfert de Ruelle, et $\hat{H}$ son générateur (qui est un opérateur auto-adjoint sur $L^{2}\left(\mathcal{E}\right)$).
• Une distribution de Dirac évolue par $\delta_{X\left(t\right)}=\hat{F}_{t}\delta_{X\left(0\right)}$ comme un point.
• Une distribution $\psi\left(X\right)$ lisse ($\psi\in C^{\infty}\left(\mathcal{E}\right)$) évolue par $\hat{F}_{t}$ en s'étalant
  
  
• Une fonction de corrélation dynamique consiste à ``mesurer'' $\psi_{t}\left(X\right)$ par une observable lisse $\varphi\left(X\right)$:
  $$C_{\varphi,\psi}\left(t\right):=\int\varphi\left(X\right)\psi_{t}... ...si_{t}\right\rangle =\left\langle \varphi\vert\hat{F}_{t}\psi_{0}\right\rangle$$