Cours d'Algèbre II

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Années 2014-15

Responsable, Cours : François Dahmani.

Me contacter : prenom.nom @ ujf-grenoble.fr ou prenom.nom @ gmail.com

(en remplaçant prenom.nom par ce qui est évident, sans la cédille)

TD : Matthias Moreno, Fangzhou Jin

Horaire : le mardi, 10h15-12h15, en amphi A de l'ENS de Lyon.    12 séances de 2h.

• Résumé du programme 
  (chaque point occupe environ une séance de 2 heures)   
  Les points en petit, et en italique sont traités "si le temps le permet". 

  • Extensions de corps et d'anneau.  (5 séances)   Notes de cours
    

  • Extensions de corps, point de vue vectoriel, règle et compas.
    
  • Corps de rupture, corps de décomposition, corps finis.
    
  • Cloture algébrique, extensions normales, théorème de l'élément primitif.
    
  • Cyclotomie.
    
  • Extensions d'anneaux, structure d'algèbre, integralité, cloture integrale. Cas des corps quadratiques. Compléments : algèbres commutatives sur un corps.
  
  
  • Groupes linéaires,  (5 séances)
    
  • Définitions, GL, SL, générateurs, systèmes Diophantiens linéaires,
    
  • Simplicité de PSL(n,k) et congruences de PSL(n,Z). 
    
  • Exponentielle, crochet de Lie, correspondance entre nilpotents et unipotents, sous-groupes à un parametre,
    
  • Sous-groupes fermés. Sous groupes compacts. Compléments sur la théorie de Lie.
    
  • Quaternions, définition, premières applications, groupes S^3, SU(2), SO(4), et SO(3). Plus d'applications selon temps disponible.
    
   
  
  • Complements autour des algèbres de polynômes (2 séances)
  • Polynômes symétriques, resultant.
    
  • Fractions rationelles, éléments simples.
    

• Bibliographie conseillée

  • « Cours d'Algèbre », D. Perrin, Ellipse.    (très bon, très classique, fondamental, et pas cher !)

  • « Nombres et Algèbre » J.-Y. Merindol, EDP-Sciences     (assez complet à ce niveau, avec de nombreux thèmes développés, mais quelques typos)
    

  • « A survey of modern algebra » G. Birkhoff et S. Mac Lane.    (un classique) 
  • "Groupes de Lie classiques"  R. Mneimné, S. Testard.
  • "Algebra" S. Lang.
    

• Fiches de TD:
  

• Fiche 1