Master Mathématiques et Applications

Master M1 Mathématiques générales

Année 2024-2025

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Actualités

Réunion de rentrée

Compositions des deux groupes de TD

Options de deuxième semestre à partir de la rentrée 2024

Calendrier prévisionnel de l'année

Forum Emploi Maths

Fiche pédagogique individuelle

Sites

Révisions estivales

Voici une liste indicative de quelques notions du programme de L3A (Mathématiques avec Approfondissements, 2021-2025) qu'on peut envisager de retravailler avant la rentrée.

Contacts

Toutes adresses mail : prenom.nom[at]univ-grenoble-alpes.fr

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Présentations

Archives

Liste des UE

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Au premier semestre
Algèbre
Analyse
Probabilités
  Fonctions holomorphes  
    
Au second semestre
Travail d'études et de recherche
  Actions de groupes et géométrie hyperbolique  
Algèbre effective et applications
Géométrie différentielle
Probabilités approfondies : chaînes de Markov et mécanique statistique
Théorie spectral, EDP et mécanique quantique
Anglais scientifique

Nota : Les ouvrages indiqués en guise de Documentation dans la description détaillée des UE ci-dessous sont en général disponibles, souvent en plusieurs exemplaires, au rayon Capes, Agrégation, Master (cote CA) de la bibiliothèque Jean-Pierre Demailly de l'Institut Fourier. Les étudiant.e.s inscrit.e.s en master peuvent consulter et emprunter ces ouvrages, et travailler dans la salle réservée de la bibliothèque.

UE Algèbre (premier semestre, enseignement obligatoire, 9 crédits ECTS, 33h CM et 48h TD) (Jean Fasel, Greg Berhuy et Jonathan Jenvrin)

Descriptif

I. Compléments sur les anneaux

  1. Groupe des éléments inversibles. (ℤ/nℤ)∗, fonction d’Euler. Éléments irréductibles et éléments premiers. Pgcd et ppcm.
  2. Notion d’algèbre. Algèbre des polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques. Liens entre coefficients et racines d’un polynôme. En TD : séries formelles en une variable. Corps des fractions d’un anneau intègre.
  3. Anneaux noethériens, théorème de la base de Hilbert.
  4. Anneaux factoriels. Lemme de Gauss et lemme d'Euclide. Exemple : les anneaux principaux. Théorème de Gauss sur A[X], pour A factoriel. Polynômes irréductibles, critères d’irréductibilité sur A factoriel (Eisenstein, etc.).
II. Corps (les corps considérés sont commutatifs)
  1. Extensions de corps, degrés, multiplicité. Éléments algébriques, éléments transcendants, polynôme minimal, extension algébrique.
  2. Corps de rupture, corps de décomposition d’un polynôme.
  3. Clôture algébrique (définition), le corps ℂ des nombres complexes est algébriquement clos. Énoncé du théorème de Steinitz.
  4. Corps finis, existence et unicité, structure multiplicative. Racines de l’unité, polynômes cyclotomiques, irréductibilité sur ℤ.
III. Représentations des groupes finis sur ℂ
  1. Représentations d’un groupe fini. Représentations par permutations, représentations régulières.
  2. Représentations irréductibles, Théorème de Maschke.
  3. Morphismes de représentations. Lemme de Schur.
  4. Caractères. Caractère de Hom(V;W). Orthogonalité et décomposition des représentations. Formule de Burnside. Théorème fondamental de Frobenius et corollaires. Table des caractères. Orthogonalité des colonnes.
  5. Exemple : table de 𝔖4. Noyau d’un caractère. Application : critère de simplicité.
  6. Le cas des groupes abéliens. Groupe dual d’un groupe abélien fini. Transformée de Fourier discrète, cas de ℤ/nℤ et (ℤ/nℤ)2. Structure des groupes abéliens finis.

Documentation

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UE Analyse (premier semestre, enseignement obligatoire, 9 crédits ECTS, 33h CM et 48h TD) (Dietrich Hafner, Romain Joly et Martin Donati)

Descriptif

Partie A : Équations différentielles ordinaires

  1. Rappels de L3 (certains de ces points seront revisités en TD)
  2. Méthodes qualitatives
Partie B : Équations aux dérivées partielles (ÉDP)
  1. Introduction
  2. ÉDP du premier ordre
  3. Quelques ÉDP du second ordre sur ℝd
Partie C : Outils et méthodes mis en œuvre dans la partie B
  1. Espaces de Lebesgue Lp
  2. Analyse de Fourier

Documentation

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UE Probabilités (premier semestre, enseignement obligatoire, 9 crédits ECTS, 33h CM et 48h TD) (Vincent Beffara, Agnes Coquio et Charline Smadi)

Descriptif

  1. Rappels élémentaires de théorie des probabilités
  2. Éléments de statistique
  3. Espérance conditionnelle
  4. Processus à temps discret
  5. Martingales
  6. Chaînes de Markov

Pré-requis

Documentation

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UE Fonctions holomorphes (premier semestre, enseignement obligatoire, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Erwan Lanneau, Christophe Leuridan et Catriona Mclean)

Descriptif

  1. Fonctions holomorphes et analytiques, en particulier l’équivalence entre les deux notions, fonction exponentielle et logarithme, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés, formule de Cauchy pour le disque
  2. Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes (inégalités de Cauchy, suites et séries de fonctions holomorphes, propriété de la moyenne et principe du maximum)
  3. Théorie de Cauchy (existence de primitives, théorèmes de Cauchy)
  4. Fonctions méromorphes (classification des singularités isolées, fonctions méromorphes, théorème des résidus, séries de Laurent)
  5. Théorème de la représentation conforme de Riemann
Documentation Revenir à la liste des UE

UE Travail d'études et de recherche (second semestre, 6 crédits ECTS)

Cette UE propose une découverte de la recherche en mathématiques à travers l'étude d'un sujet décrivant un résultat ou une théorie mathématique, avec lesquels l'étudiant.e devra se familiariser afin de se les approprier et de pouvoir en rendre compte par un rapport écrit et un exposé oral.

En pratique, une liste de sujets est proposée au cours du premier semestre. Chaque étudiant.e sélectionne dans cette liste quatre sujets, classés de 1 à 4, puis le responsable de la formation attribue à chaque étudiant.e un sujet figurant dans la mesure du possible parmi ces quatre-là. Dès les attributions connues, chaque étudiant.e contacte l'auteur.e de son sujet, qui va l'encadrer pour ce travail tout au long du second semestre. Une fois que l'encadrant.e a présenté à l'étudiant.e le sujet et les détails du travail attendu, le binôme se rencontre régulièrement afin que l'étudiant.e puisse rendre compte de l'avancement de son travail et progresser dans celui-ci.

Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport écrit, rédigé en utilisant le logiciel LaTeX, comportant obligatoirement un résumé et une bibliographie, et à une soutenance orale d'une durée de 20 à 30 minutes, souvent suivie de questions, devant un jury qui comprend l'encadrant.e. Le rapport et la soutenance contribuent conjointement à l'évaluation du travail réalisé.

Documentation

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UE Actions de groupes et Géométrie hyperbolique (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (François Dahmani et Pierre Will)

Le but de ce cours est de présenter des notions élémentaires de géométrie hyperbolique, et d'étudier certaines actions de groupes associées (groupe de Möbius, PSL(2,C), sous-groupes discrets). Le contenu et la bibliographie sont largement accessibles selon les prérequis suivants : algèbre linéaire, réduction des endomorphismes, calcul différentiel, et analyse complexe élémentaire, topologie (espaces métriques, parties discrètes), théorie des groupes élémentaire.

Nous étudierons certains exemples de groupes Fuchsiens, et les pavages du disque qui leurs sont associés. Si le temps le permet, nous aborderons la géométrie hyperbolique de dimension trois sous l'angle des déformations de groupes Fuchsiens.

Un domaine fondamental

Descriptif

Documentation

Documentation pour aller plus loin

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UE Algèbre effective et applications (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Samuel Le Fourn et Bernard Parisse)

L'algèbre effective est le domaine des mathématiques où on s'intéresse au calcul exact des objets intervenant en algèbre au sens large (arithmétique des entiers, arithmétique des polynômes et algèbre linéaire sur un corps fini et sur les rationnels), avec l'objectif de les rendre efficaces par rapport à la taille des données, en estimant leur complexité. Les applications sont nombreuses : calcul formel, cryptographie, codes correcteurs (par exemple QR codes)... On montrera plusieurs exemples où des calculs modulo un nombre premier permet d'accélérer les calculs sur les rationnels.
Une partie des exercices nécessite l'utilisation d'un logiciel de calcul formel tel que Xcas sur PC, mobile ou calculatrice CAS.

Descriptif

  1. Arithmétique des polynômes à 1 variable (dont interpolation et FFT), arithmétique des entiers et liens entre eux. Puissance modulaire rapide, application: test de primalité, RSA.
  2. PGCD dans Z/pZ[X]. Application à la simplification dans Q[X]. Irréductibilité dans Z/pZ[X], application à la représentation des corps finis, application à la factorisation dans Q[X]. Calcul efficace dans GF(2,n).
  3. Théorème fondemental de l'algèbre : localisation de racines de polynômes dans C[X] (Newton, Aberth ; Sturm, Descartes). Résultant, algorithmes de calcul, application au calcul de primitives de fractions rationnelles, à la résolution de certains systèmes polynomiaux. Générateurs effectifs d'extensions de Q.
  4. Matrice à coefficients dans un corps fini et sur les rationnels: réduction de Gauss, déterminant, polynôme caractéristique. Applications : codes correcteurs.

Prérequis arithmétique sur Z et Q[X]: PGCD, identité de Bézout, restes chinois, factorisation, algèbre linéaire dans Rn.

Documentation

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UE géométrie différentielle (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Sylvain Courte et Baptiste Devyver)

La géométrie différentielle a joué un rôle majeur dans l’histoire des mathématiques et elle reste jusqu’à aujourd’hui un domaine très actif de la recherche mathématique. Il s’agit d’un domaine qui montre particulièrement bien comment des questions très concrètes liées par exemple à la cartographie sont résolues par des concepts mathématiques abstraits. Il n’est alors par surprenant que la géométrie différentielle soit très présente dans les applications industrielles des mathématiques jusqu’à aujourd’hui. L’objectif de ce cours consiste à familiariser les étudiants avec les notions de base de la géométrie différentielle et de leur faire découvrir certains grands classiques comme le théorème de Whitney, le theorema egregium et le théorème de Gauss-Bonnet, ce dernier étant une jolie illustration du lien entre la géométrie et la topologie.

Descriptif

  1. Géométries des courbes de R2 et R3. Courbure, torsion, repère de Fresnet.
  2. Sous-variétés de Rn rappels de calcul différentiel, théorème des fonctions implicites, équivalence entre plusieurs définitions de sous-variétés, champs de vecteurs, formes différentielles.
  3. Variétés abstraites définition et exemples, théorème de Whitney.
  4. Géométrie des surfaces de R3 Application de Weingarten, formes fondamentales, courbures, connexion et géodésique, theorema egregium, théorème de Gauss-Bonnet.

Pré-requis

Documentation

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UE Probabilités approfondies : chaînes de Markov et mécanique statistique (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Loren Coquille et Didier Piau)

La première partie de l'UE sera consacrée à la théorie des chaînes de Markov en temps discret et à espace d'états discret ; il s'agira donc de couvrir un chapitre initialement prévu au programme de l'UE Probabilités du premier semestre que le manque de temps et les lacunes des étudiant·es concernant le programme de L3 empêchent régulièrement de traiter.
La deuxième partie constituera une introduction à la mécanique statistique, plus particulièrement à l'étude mathématique des transitions de phase dans des modèles sur réseau. On étudiera en détail le cas de référence du modèle d'Ising, l'un des modèles les plus célèbres et les plus étudiés dans ce domaine.
Si le temps le permet, une troisième partie présentera une introduction à des modèles de chaînes de Markov indexées par les arbres (percolation et modèle d'Ising sur des arbres).

Insertion dans le cursus de master Une partie du contenu de cette UE est au programme de l'agrégation : traitement complet des chaînes de Markov dans ce cadre, espérances conditionnelles, éventuelle\-ment un peu de martingales (convergence de martingales rétrogrades pour l'existence de mesures en volume infini à travers les équations DLR), topologies faibles, etc.
Il peut également servir à renouveler les exemples mobilisables dans ce contexte pour l'option A : conditionnements spatiaux, situations de TCL/non-TCL pour des variables aléatoires non indépendantes (convergence ou non de la magnétisation moyenne à haute température ou à basse température), dynamique de Glauber et algorithme de Metropolis-Hastings, etc.
Enfin, il vise à aborder, spécialement dans la troisième partie, des situations de recherche actuelles.

Simulations du modèle d'Ising sur le réseau carré à basse température (à gauche, phase ferromagnétique) et à haute température (à droite, phase paramagnétique)
Simulations du modèle d'Ising sur le réseau carré à basse température (à gauche, phase ferromagnétique) et à haute température (à droite, phase paramagnétique)

Programme prévisionnel

Prérequis Probabilités de L3 (loi des grands nombres, théorème central limite, combinatoire élémentaire, inégalités). Bases d'analyse réelle, de théorie de la mesure et d'analyse complexe. Nous prévoyons d'introduire les autres outils nécessaires d'une manière auto-contenue.

Documentation

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UE Théorie spectral, EDP et mécanique quantique (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Baptiste Devyver et Alain Joye)

Le but de ce cours est d'introduire les étudiants aux bases de la théorie spectrale des opérateurs elliptiques sur des domaines, et de voir quelques applications, notamment dans le cadre de la mécanique quantique.
Un des résultats clés du cours sera le fait que le Laplacien avec condition de Dirichlet dans un domaine Ω borné et lisse de Rd admet une base hilbertienne de fonctions propres régulières en vérifiant -Δ en = λ nen, où λ n → +∞ avec n∈ N.
Ce résultat sera un prétexte à l'étude de différents concepts : opérateurs compacts, ou à résolvante compacte, dans les espaces de Hilbert et leur "diagonalisation", espaces de Sobolev Hk( Ω) et leurs propriétés (injections de Sobolev par exemple), régularité des solutions d'EDP elliptiques.

Dans un second temps, nous souhaitons aussi présenter des applications à la théorie spectrale des opérateurs emblématiques de la mécanique quantique.
Le formalisme mathématique de la mécanique quantique sere présenté, puis nous discuterons le spectre de certains opérateurs de Schrödinger -Δ +V tels l'oscillateur harmonique ou le Laplacien sur le tore. Nous aborderons également l'existence et les propriétés de fonctions propres associées à la plus basse valeur propre d'un opérateur de Schrödinger en fonction du potentiel V via l'approche variationnelle.

Plus généralement, nous présenterons la caractérisation du spectre d'opérateurs par le min-max des quotients de Rayleigh, ainsi que le théorème de Courant sur le nombre de domaines nodaux des fonctions propres du Laplacien, et l'asymptotique de Weyl pour les valeurs propres sur un domaine. Des exemples simples de problèmes d'optimisation spectrale pourront aussi être présentés en TD, en fonction du temps disponible.

programme préliminaire

Prérequis Le cours d'analyse du premier semestre.

Documentation

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UE Anglais scientifique (second semestre, 3 crédits ECTS) (Emmanuelle Esperança-Rodier)

Il s'agit de viser le niveau de qualification B2 du Conseil de l'Europe, défini par ALTE, dans trois champs de compétences :

  1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
  2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l'information pertinente et en saisir l'essentiel
  3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision
Les objectifs de l'UE seront les suivants :
  1. Acquérir les techniques nécessaires pour bien comprendre un texte écrit
  2. Apprendre à communiquer à partir de documents de recherche en anglais choisis dans le domaine de spécialité des étudiants
  3. Préparer et présenter un poster professionnel, dans le but de développer des techniques de communication écrite et orale dans le domaine de spécialité des étudiants
  4. Acquérir un lexique dans le domaine de spécialité des étudiants, à partir de documents de recherche en anglais, par la constitution d'un glossaire
  5. Acquérir les techniques nécessaires à la rédaction d'un abstract scientifique

Pré-requis : Niveau B1 du Cadre européen commun de référence pour les langues (CECRL)

Mots-clés : Anglais de spécialité, communication scientifique

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