Obstruction de Brauer-Manin pour les surfaces de Markoff

Jean-Louis Colliot-Thélène

C'est un problème difficile de décider quand une surface cubique affine a un point entier, et si les points entiers sont denses (en divers sens). Ghosh et Sarnak ont étudié la famille des surfaces de Markoff, données par une équation \(x^2+y^2+z^2-xyz=m\), où \(m\) est entier. Ces surfaces admettent un groupe discret d'automorphismes, avec un domaine fondamental borné pour les solutions entières. Ghosh et Sarnak montrent que le principe de Hasse entier est souvent en défaut. Certains de leurs arguments utilisent la loi de réciprocité quadratique. Dans un travail commun avec Dasheng Wei et Fei Xu, nous examinons dans quelle mesure l'obstruction de Brauer-Manin entière rend compte de leurs résultats. Un travail similaire au nôtre a été effectué par Loughran et Mitankin.