Chapitre 5  Exemples d’exercies utilisant le tableur

5.1  PGCD

5.1.1  L’algorithme d’Euclide

Voici la description de cet algorithme pour obtenir le pgcd de deux entiers a et b :
on effectue des divisions euclidiennes successives :

Après un nombre fini d’étapes (au plus b), il existe un entier n tel que : r_n = 0.
on a alors :
PGCD(a,b )= PGCD(b,r₁) =....PGCD(r_n−1,r_n) = PGCD(r_n−1,0)
donc
PGCD(a,b ) = r_n−1

5.1.2  Une mise en œuvre simple

On effectue une commande en appuyant sur enter, si on appuie à nouveau sur enter Xcas exécute à nouveau la même commande puisque cette commande reste inscrite dans la ligne des commandes.
Les différentes commandes et réponses sont numérotées à partir de 0.
Les réponses sont alors ans(0), ans(1) etc ... La dernière réponse peut aussi être désignée par ans() ou par ans(-1), et l’avant dernière réponse peut être désignée par ans(-2) etc...
Pour calculer PGCD(78,56), on tape :
78 enter puis 56 enter puis,
irem(ans(-2),ans()) enter
On obtient 22 (car 22 est le reste de la division de 78 par 56)
puis enter enter enter etc...et cela nous permet d’obtenir la suite des restes.

5.1.3  La suite des restes avec le tableur

Voici une mise en œuvre de l’algorithme d’Euclide avec un tableur.
À l’aide d’un tableur que l’on obtient avec le raccourci clavier Alt+t, on écrit la suite des restes. Si l’on veut déterminer le PGCD(78,56), on définit la suite des restes dans la colonne A par :
On met 78 dans A0
On met 56 dans A1
On met =irem(A0,A1) dans A2
puis on utilisee le menu du tableur Edit puis Remplir et Copier vers le bas, lorsque A2 est en surbrillance et l’on a ainsi la suite des restes des divisions successives dans la colonne A.
Le dernier reste non nul 2 est donc le pgcd de 78 et de 56.

5.2  Identité de Bézout

L’algorithme d’Euclide permet aussi de trouver un couple u, v vérifiant :
au + bv= PGCD(a,b)

5.2.1  Avec le tableur

On pose a=r₀ et b=r₁, et on définit, dans la colonne A, "la suites des restes" r_n : pour n ≥ 2, r_n−2=q_nr_n−1+r_n avec r_n<r_n−1.
Puis on définit, dans les colonnes B et C, deux suites u_n et v_n de façon qu’à chaque étape on ait : r_n=u_na+v_nb pour n ≥ 0.
Puisque r₀=a on a : u₀=1 et v₀=0
Puisque r₁=b on a : u₁=0 et v₁=1
Puisque r_n=r_n−2−q_nr_n−1 pour n ≥ 2, u_n et v_n vérifient la même relation de récurrence pour n ≥ 2 à savoir :
u_n=u_n−2−q_nu_n−1 et v_n=v_n−2−q_nv_n−1 avec
q_n= quotient entier de r_n−2 par r_n−1 pour n ≥ 2.
On a au début :
A0 vaut r₀=a et A1 vaut r₁=b,
B0 vaut u₀=1 et B1 vaut u₁=0 puisque a=1*a+0*b,
C0 vaut v₀=0 et C1 vaut v₁=1 puisque b=0*a+1*b.
Dans la colonne A on veut avoir la suite des restes et dans les colonnes B et C les suites u et v qui seront les coefficients de a et b pour avoir sur chaque ligne n du tableur : An=aBn+bCn.
Pour cela on a besoin de la suite des quotients q_n= (quotient entier de r_n−2 par r_n−1 pour n ≥ 2) que l’on met dans la colonne D (D2=iquo(A0,A1) puis on tape sur remplir et vers le bas, lorsque D2 est en surbrillance).
Les lignes l_n des colonnes A, B, C vérifient la même relation de récurrence :
l_n=l_n−2−q_nl_n−1
On definit donc :
A0 par a
A1 par b
A2 par =irem(A0,A1)
puis on tape sur remplir et vers le bas, lorsque A2 est en surbrillance et on obtient la suite des restes des divisions successives.
B0 par 1
B1 par 0
B2 par =B0-D2*B1
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque B2 est en surbrillance et on obtiendra la suite des "u" lorsqu’on aura rempli la colonne D.
C0 par 0
C1 par 1
C2 par =C0-D2*C1
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque C2 est en surbrillance et on obtiendra la suite des "v" lorsqu’on aura rempli la colonne D.
D0 par 0
D1 par 0
D2 par =iquo(A0,A1)
(en fait D0 et D1 ne servent pas)
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque D2 est en surbrillance, pour avoir la suite des quotients des divisions successives.
Le tableur va alors afficher les valeurs de ces différentes suites et sur la ligne du dernier reste non nul on pourra lire les coefficients de l’identité de Bézout.
Pour l’exemple a=78 et b=56, on trouve :
- sur la ligne 6 : A6=0 et,
- sur la ligne 5 : A5=2, B5=-5, C5=7 (et D5=1),
ce qui signifie que :
2=-5*78+7*56

5.2.2  Les pas de Louis

Louis marche sur la bordure du trottoir, comptant les fois où une de ses semelles chevauche un joint entre deux blocs (si son talon est tangent il chevauche le joint, mais si la pointe est tangente il ne chevauche pas).
Le trottoir comporte 150 blocs d’un mètre (il n’y a pas de joint au debut ni à la fin du trottoir).
Son pas est de 61 cm et ses semelles mesurent 21 cm et les joints n’ont pas d’épaisseur.
Combien de fois Louis marche-t-il sur un joint?
Réponse
Il y a 149 joints.
Il faut tout d’abord voir qu’au p-ième pas les semelles de Louis sont entre (p*61) cm et (p*61+21) cm. Ses semelles couperont le n-ième joint si :
100*n=p_n*61+r_n avec 0 ≤ r_n<21
On va donc dans un premier temps écrire la suite des restes r_n à l’aide du tableur.
On definit donc :
A0 par 0
A1 par =A0+1
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque A1 est en surbrillance, pour avoir la suite des entiers 0,1, etc...
B0 par 0
B par 1=irem(100*A1,61)
puis on tape sur remplir et vers le bas, lorsque B1 est en surbrillance, pour avoir la suite des restes r_n.
Bien sûr il n’est pas facile de compter les restes inférieurs à 21.
On va donc définir une colonne qui fera ce comptage.
On definit donc :
C0 par 0
C1 par =ifte(B1<21,C0+1,C0)
La réponse au problème est donc la valeur de C149 et on trouve 51.
Louis marche donc 51 fois sur un joint.

On peut aussi utiliser la commande count (ou la commande count_inf) qui compte les éléments du tableur pour lesquels une fonction booléenne est vraie :
On tape, par exemple dans D0 :
count(x->x<21,B1:B149)
ou on tape dans D0 :
count_inf(21,B1:B149)
On prend en compte les cellules B1:B149, car il n’y a pas de joints au début, ni à la fin.
On obtient dans D0 : 51.

On peut aussi écrire un petit programme dont voici l’algorithme :

louis nbloc
0 -> k
pour n de 1 a nbloc-1 faire
si (n*100 mod 61 <21) alors k+1 -> k 
fsi
fpour
afficher k

qui se traduit en langage Xcas par :

louis(nbloc):={
k:=0;
for (n:=1;n<nbloc:n++){
if (irem(n*100,61)<21) k:= k+1; 
}
return k;
}

Puis, on tape louis(150)
et on obtient 51.

5.3  Accélération de convergence vers π²/6

On considère la série de terme général 1/n², et on souhaite déterminer une valeur approchée de sa somme pour n allant de 1 à l’infini.
On rappelle que la valeur exacte de cette somme est égale à π²/6 : pour cela on développe en séries de Fourier la fonction f qui est 2π-périodique et est égale à x² sur [−π, π].
On a :
f(x)=x²=π²/3+4*∑_n=1^∞(−1)ⁿ/n²cosnx pour x ∈ [−π, π]
Pour x=π on obtient : ∑_n=1^∞1/n²=π²/6.

1. Déterminer à l’aide de Xcas une valeur approchée de π²/6 puis de:

   n ∑ j=1

   1 j2

   pour n=10, n=100 et n=1000.
   Définir et observer dans le tableur la suite récurrente :
   u₁=1
   u₂=1+1/4
   u_n=u_n-1+1/n² pour n>1.
   Réponse :
   On cherche une valeur approchée de π²/6 et on tape :
   evalf(pi^2/6)
   On obtient :
   1.64493406685
   On tape :
   evalf(sum(1/j^2,j,1,10))
   On obtient :
   1.54976773117
   On tape :
   evalf(sum(1/j^2,j,1,100))
   On obtient :
   1.63498390018
   On tape :
   evalf(sum(1/j^2,j,1,1000))
   On obtient :
   1.64393456668
   Puis on ouvre un tableur (avec Alt+t) et on tape :
   dans A0 : 0
   dans A1 : =A0+1
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque A1 est en surbrillance, pour avoir la suite des entiers 0,1, etc...
   On tape :
   dans B0 : 0
   dans B1 : =B0+1/A1^2
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque B1 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de u_n.
   On tape :
   dans C0 : =evalf(B0)
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque C0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de u_n.
   
2. Comparer ces valeurs à la valeur approchée de π²/6 : donner le nombre de décimales exactes pour les 3 valeurs de n.
3. On souhaite accélérer la convergence des sommes partielles. On va donc déterminer un encadrement de ∑_j=n+1^∞1/j² à l’aide de l’intégrale de la fonction 1/x². Montrer que:

   ∫

   ∞ n+1

   1 x2

   dx  ≤

   ∞ ∑ j=n+1

   1 j2

   ≤

   ∫

   ∞ n

   1 x2

   dx

4. En déduire que:

   0 ≤

   ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

   n ∑ j=1

   1 j2

   +

   1 n

   ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

   −

   π2 6

   ≤

   1 n(n+1)

5. Calculer 1/n+ ∑_j=1ⁿ 1/j² pour n=10, n=100 et n=1000 et déterminer le nombre de décimales exactes pour ces 3 valeurs de n, justifier ce nombre de décimales pour n=10, n=100 et n=1000.

   Avec le tableur, il suffira d’ajouter 1/n à la colonne où se trouve u_n.
   

6. Montrer que pour k≥ 2 on a :
   

   1 k

   −

   1 k+1

   +

   1 2k(k+1)

   −

   1 2(k+1)(k+2)

   <

   1 k2

   <

   1 k

   −

   1 k+1

   +

   1 2(k−1)k

   −

   1 2k(k+1)

   En déduire que :
   w_n=u_n+1/(n+1)+1/2/(n+1)/(n+2) converge vers π²/6 et que l’on a :
   0<π²/6−w_n<1/n³

Réponse :
On tape :
normal(1/k^2-1/k+1/(k+1)-1/2/k/(k+1)+1/2/(k+1)/(k+2))
On obtient :
2/(k^4+3*k^3+2*k^2)
On tape :
normal(1/(k^2)-1/k+1/(k+1)-1/2/k/(k-1)+1/2/(k+1)/k)
On obtient :
-1/(k^4-k^2)

5.4  ln(2)

Il s’agit ici d’obtenir un encadrement de ln(2) en utilisant des méthodes numériques approchées de calcul de l’intégrale: I= ∫₀¹ 1/1+x dx

1. Tracer le graphe de la fonction f définie par f(x)=1/(1+x) entre 0 et 1, la corde qui relie les points d’abscisses 0 et 1 et la tangente au point d’abscisse 1/2.
   Réponse :
   On change l’initialisation de la fenêtre graphique avec le bouton rouge geo. On prend :
   X-=WX-=-0.1 X+=WX+=1.1
   Y-=WY-=0.4 Y+=WY+=1.1
   On tape :
   f(x):=1/(1+x)
   G:=plotfunc(1/(1+x),x)
   segment(i*f(0),1+i*f(1))
   tangent(G,1/2)
2. On subdivise l’intervalle [0,1] en n parties et on encadre l’intégrale par la méthode des rectangles inférieurs et supérieurs.
   Montrez que: u_n <I< v_n avec pour n≥ 1 :
   u_n=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n) et
   v_n= 1/n+1/(n+1)+...+1/(n+n−1).
   Calculer u_n et v_n pour n=10, 100, 1000.
   Réponse :
   Avec le tableur on écrit la suite récurrente :
   u₁=1/2
   u₂=1/3+1/4
   u_n=u_n−1+1/((2n−1)*2n) pour n> 1 et
   v₁=1
   v₁=1/2+1/3
   v_n=u_n+1/(2n) pour n≥ 1
   pour cela on tape :
   0 dans A0
   =A0+1 dans A1
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque A1 est en surbrillance, pour avoir la suite des entiers 0,1, etc...
   On tape :
   0 dans B0
   1/2 dans B1
   =B1+1/((2*A2-1)*2*A2) dans B2
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque B2 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de u_n.
   On tape :
   =evalf(B0) dans C0
   puis, on tape sur remplir et vers le bas,lorsque C0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de u_n.
   On tape :
   0 dans D0
   =B1+1/(2*A1) dans D1
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque D1 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de v_n.
   On tape :
   =evalf(D0) dans E0
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque E0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de v_n.
3. On subdivise l’intervalle [0,1] en n parties et on applique la méthode du point milieu et la méthode des trapèzes. On obtient ainsi deux suites w_n et t_n.
   Montrez que: w_n= ∑_j=0ⁿ⁻¹ 1/n+j+1/2 et que t_n=(u_n+v_n)/2.
   Calculer w_n et t_n pour n=10, 100, 1000.
   Réponse :
   Le rectangle de base [j/n;(j+1)/n] au point milieu d’abscisse (2j+1)/2n a pour surface :
   1/n*1/1+(2j+1)/2n=2/2n+2j+1=1/n+j+1/2
   Le trapèze de base [j/n;(j+1)/n] a pour surface :
   1/2n*(1/1+j/n+1/1+(j+1)/n)=1/2(1/n+j+1/n+j+1)
   Avec le tableur, on écrit les suites récurrentes :
   w₀=2/3
   w₁=2/5+2/7
   w_n=w_n−1+1/((2n−1/2)*(2n−3/2)(n−1/2)) et
   t₀=3/4
   t₁=1/3+3/8
   t_n=(u_n+v_n)/2 pour cela on tape :
   0 dans F0
   2/3 dans F1
   =F1+1/(2*A2-1/2)+1/(2*A2-3/2)-1/(A2-1/2) dansF2
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque F2 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de w_n.
   G0=evalf(F0)
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque G0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de w_n.
   On tape :
   0 dans H0
   =(B1+D1)/2 dans H1
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque H1 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de t_n.
   =evalf(H0) dans I0
   puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque I0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de t_n.
   On trouve pour n=10 :
   u₁₀=155685007/232792560 ≃ 0.668771403175
   v₁₀=33464927/46558512 ≃ 0.718771403175
   w₁₀=358143560536/516924483075 ≃ 0.69283536041
   t₁₀=161504821/232792560 ≃ 0.693771403175
   
4. Vérifiez que la fonction f est convexe en montrant que f′′>0.
   On admettra les propriétés suivantes des fonctions convexes :
   • le segment reliant (x₁,f(x₁)) à (x₂,f(x₂) (x₁<x₂) est au-dessus de la courbe représentative de f entre x₁ et x₂.
   • la tangente en un point de la courbe est en-dessous de la courbe représentative de f.
5. En comparant graphiquement des aires, montrez que :
   

   tn≥

   ∫

   1 0

   f(x)  dx

   .
6. On considère une subdivision [j/n,j+1/n]. Tracer sur cet intervalle la courbe de f et la tangente de f au point milieu de l’intervalle. Par une comparaison graphique d’aires (aire sous la tangente=aire du rectangle) montrez que :
   

   wn ≤

   ∫

   1 0

   f(x) dx

7. Indiquez le nombre de décimales exactes obtenues lorsque l’on approche ln(2) à l’aide de u_n,v_n,w_n,t_n pour n=10, n=100, n=1000.

   Montrez qu’en général u_n et v_n donnent un encadrement d’ordre 1/n de ln(2), et que w_n et t_n donnent un encadrement d’ordre 1/n² de ln(2).

5.5  L’algorithme de Héron avec Xcas

5.5.1  Les fonctions de Xcas utilisées

Voici les fonctions de Xcas qui vous seront utiles dans ce TP.
ans() renvoie la dernière réponse obtenue.
numer renvoie le numérateur de la fraction n/d, ainsi numer(n/d) vaut n et denom renvoie le dénominateur de la fraction n/d, ainsi denom(n/d) vaut d.
evalf(a) évalue a à l’aide d’un nombre flottant comportant 12 chiffres significatifs (sauf si on a changé ce nombre dans la configuration du cas obtenu avec le bouton rouge cas).
iquo(a,b) calcule le quotient entier q de a par b (a=b*q+r avec 0≤ r <b).
f(x):=exprx où exprx représente une expression de x permettant de définir la fonction f.
plotseq(f(x),x=a,n) permet de visualiser les n premiers termes de la suite définie par u₀=a et u_n+1=f(u_n) pour n ≥ 0 (il faut penser à changer la fenêtre de visualisation bouton rouge geo).

5.5.2  Le problème : valeur approchée de √7

On considère la suite récurrente définie par :
u₀=3 et u_n+1=1/2(u_n+7/u_n) pour n ≥ 0.
0/ Définir la fonction f pour que u_n+1=f(u_n) pour n ≥ 0.
1/ Calculer les 5 premiers termes de la suite u et donner une valeur approchée de u₅. On pourra utiliser f(ans()) qui applique f à la dernière réponse.
2/ Visualiser les cinq premiers termes de la suite u et trouver une bonne fenêtre de visualisation.
3/ Ouvrir un tableur avec le raccourci clavier Alt+t et mettre :
dans la colonne A les valeurs de n,
dans la colonne B les valeurs de u_n,
dans la colonne C les valeurs du numérateur c_n de u_n,
dans la colonne D les valeurs du dénominateur d_n de u_n,
dans la colonne E les valeurs du quotient exact de c_n*10¹² par d_n,
dans la colonne F les valeurs approchées de u_n données par evalf.
Que représente la colonne E ?
Observez les différentes colonnes et notez vos observations.
4/ On veut montrer que la suite u_n est convergente.
- montrer que la suite u est définie et que u_n>√7 pour tout n ≥ 0,
- en déduire que le signe de u_n+1−u_n est indépendant de n,
- montrer que la suite u est décroissante et converge vers √7,
5/ On pose e_n=u_n−√7. Montrer que √7>5/2 et en déduire que e₀<0.5.
Montrer que e_n=e_n−1²/2*u_n−1 pour tout n ≥ 1.
En déduire que e_n < 5*(e_n−1/5)² < 5*(e₀/5)²ⁿ< 5*(0.1)²ⁿ pour tout n ≥ 1.
Quelle erreur fait-on lorsqu’on prend u₅ comme valeur approchée de √7 ? (on montrera que e₅=(u₅²−7)/(u₅+√7)<(u₅²−7)/5).
Donner les 20 premières décimales de √7.

5.5.3  Correction

0/ On tape : f(x):=1/2*(x+7/x)
1/ Dans une ligne de commande on tape : 3 puis, f(ans()) cela va afficher la valeur exacte de u₁, on valide à nouveau f(ans()) on obtient u₂ etc...
On obtient :
u₁=8/3),
u₂=127/48),
u₃=32257/12192,
u₄=2081028097/786554688.
u₅=8661355881006882817/3273684811110137472 Quand on a la valeur exacte de u₅ pour avoir la valeur approchée on sélectionne la réponse avec la souris, puis utilise evalf du menu Calc▸Numérique.
On obtient :
2.64575131106
2/ On tape : plotseq(f(x),x=3,5) avec par exemple comme fenêtre :
[2.5;3]× [2.5;2.7]
3/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape =A0+1, puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas quand A1 est en surbrillance.
Dans B0 on tape 3 et dans B1 on tape =f(B0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand B1 est en surbrillance.
Dans C0 on tape =numer(B0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand C0 est en surbrillance.
Dans D0 on tape =denom(B0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand D0 est en surbrillance.
Dans E0 on tape =iquo(C0*10^12,D0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand E0 est en surbrillance.
Dans F0 on tape =evalf(B0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand F0 est en surbrillance.
La colonne E contient la partie entière de 10¹² *u_n. On est donc capable de voir la partie entière de u_n et de ses 12 premières décimales. En remplacant 12 par 22 on verra donc les 22 premières décimales de u_n.
4/ u₀>0 donc u₁ est défini et u₁>0 et par récurrence u_n est défini et u_n>0 pour tout n ≥ 0.
Si u_n converge vers l, l vérifie : 2*l=l+7/l donc l²=7.
Donc si la limite existe ce ne peut être que √7 puisque u_n>0 pour tout n ≥ 0.
On a f croissante sur [√7 +∞[ et f(√7)=√7 donc puisque :
u₀=3>√7 par récurrence u_n>√7 pour tout n ≥ 0.
On a f croissante sur [√7 +∞[ et u_n>√7 pour tout n ≥ 0 donc puisque :
u₀=3>u₁=8/3 on obtient par récurrence u_n>u_n+1 pour tout n ≥ 0.
Ou bien on forme la différence :
u_n+1−u_n=1/2(u_n−u_n−1−7(u_n−u_n−1)/(u_n*u_n−1))=
(u_n−u_n−1)*1/2*(u_n*u_n−1−7)/(u_n*u_n−1)
(u_n*u_n−1−7)> 0 puisque u_n>√7 pour tout n ≥ 0 et u_n*u_n−1>0 donc
u_n+1−u_n a le même signe que u_n−u_n−1 pour tout n ≥ 1
u₁−u₀<0 donc la suite u est décroissante.
u est décroissante et minorée par √7 donc u est convergente.
On a vu que si u est convergente, sa limite est √7, donc u converge vers √7.
5/ 5²=25 < 7*2²=28 donc 5/2<√7<u₀=3 et e₀=u₀−√7<1/2
e_n=u_n−√7=1/2*(u_n−1²+7−2*√7*u_n−1)/u_n−1)=e_n−1²/2*u_n−1.
On sait que 5/2<√7<u_n donc e_n<5*(e_n−1/5)² et par récurrence :
e_n<5*(e₀/5)²ⁿ<5*(1/10)²ⁿ pour tout n ≥ 1.
Donc e₅<5*(1/10)³²=5*10⁻³² est une majoration de l’erreur à priori.
Comme e₅=(u₅²−7)/(u₅+√7)<(u₅²−7)/5, on fait le calcul de (u₅²−7)/5 et on trouve e₅<2*10⁻³⁸ .
Puisque :
e₄<evalf(((2081028097/786554688)^2-7)/5)<4*10⁻¹⁹,
pour avoir un encadrement de √7 à 10⁻²⁰ près, il faut calculer u₅ avec 21 décimales.
On obtient : u₅−10⁻²⁵<u₅−e₅=√7<u₅ et
2.645751311064590590501<u₅<2.645751311064590590502 donc
2.645751311064590590500<√7<2.645751311064590590502

5.6  Suites adjacentes et convergence de ∑_k=0ⁿ (−1)^k/2k+1

5.6.1  Les fonctions de Xcas utilisées

Voici les fonctions de Xcas qui vous seront utiles dans ce TP.
normal(expr) renvoie l’expression expr simplifiée.
evalf(a) évalue a à l’aide d’un nombre comportant 12 chiffres significatifs, sauf si on a changé Chiffres dans la configuration du cas (cas en rouge).
Si exprx est une expression de x,

f(x):=exprx définit la fonction f de variable x (x ⊢→^f exprx),

subst(exprx,x,2) remplace x par 2 dans exprx et

derive(exprx,x) calcule la dérivée de exprx par rapport à x.

5.6.2  u et v sont deux suites ajacentes de limite π/4

I/ On considère les suites u et v définies par :
u₀=1−1/3 et u_n=u_n−1+1/4n+1−1/4n+3 pour n ≥ 1.
v_n=u_n+1/4n+3 pour n ≥ 0.
1/ Calculer les 6 premiers termes de la suite u et donner une valeur approchée de u₆ (on pourra utiliser un tableur que l’on obtient avec le raccourci clavier Alt+t.
2/ Calculer les 6 premiers termes de la suite v et donner une valeur approchée de v₆ (on pourra utiliser le tableur).
3/ Montrer que les suites u et v sont adjacentes.

II/ On considère la suite de fonctions f_n de [0,π/2[ dand ℝ définie par :
f₀(x)=x−tan(x) et f_n(x)=f_n−1(x)−(−1)ⁿ/2n+1tan(x)²ⁿ⁺¹ pour n ≥ 1.
0/ Calculer f_n(0) pour tout n ≥ 0.
1/ Ouvrir le tableur et faites afficher dans les colonnes :
les valeurs de n, les valeurs de f_n(x) et les valeurs de f′_n(x),
En observant ces colonnes, déterminer une expression simplifiée de la dérivée de f_n. Prouver votre conjecture.
2/ En déduire que pour p ≥ 0 :
- la fonction f_2p+1 est croissante sur [0,π/2[.
- la fonction f_2p est décroissante sur [0,π/2[.
3/ Calculer pour p ≥ 0, f_2p(π/4) et f_2p+1(π/4) en fonction de u_p et de v_p (on pourra utiliser le tableur pour déterminer la formule, puis on fera une démonstration).

III/ 1/ Montrer que la limite de u et de v est égale à π/4 ( on étudiera le signe de f_2p(π/4) et de f_2p+1(π/4)).
2/ Donner un encadrement de π/4.
Quelle erreur fait-on lorsqu’on prend 4*u₆ comme valeur approchée de π ?
3/ Trouver une valeur de n pour que 4*u_n et 4*v_n donnent un encadrement de π de diamètre inférieur à 10⁻³.

5.6.3  Correction

I/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape =A0+1 puis dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand A1 est en surbrillance.
Dans B0 on tape :
2/3 (ou =evalf(2/3) et,
dans B1 on tape :
=B0+1/(4*A1+1)-1/(4*A1+3)
puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand B1 est en surbrillance.
Dans C0 on tape :
=B0+1/(4*A0+3)
puis dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand C0 est en surbrillance.
La suite u est croissante car u_n−u_n−1=1/4n+1−1/4n+3>0 pour n ≥ 1.
La suite v est décroissante car v_n−v_n−1=1/4n+1−1/4n−1<0 pour n ≥ 1.
Donc v_n−u_n=1/(4*n+3) tend vers 0 quand n tend vers l’infini.
Les suites u et v sont donc adjacentes.

II/
0/ f_n(0)=0 pour tout n ≥ 0.
1/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape =A0+1 puis, dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand A1 est en surbrillance.
Dans D0 on tape =x-tan(x) et
dans D1 on tape =D0-(-1)^(A1)*tan(x)^(2*A1+1)/(2*A1+1) puis, dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand B1 est en surbrillance.
Dans E0 on tape =normal(derive(D0,x)) puis, dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand E0 est en surbrillance.
On remarque que l’on a f_n′(x)=(−1)ⁿ⁺¹*tan(x)²ⁿ⁺².
On le montre en faisant le calcul :
f_n(x)=x−tan(x)+1/3tan(x)³+...−(−1)ⁿ/2n+1tan(x)²ⁿ⁺¹
f_n′(x)=1−(1+tan(x)²)*(1−tan(x)²+...+(−1)ⁿtan(x)²ⁿ)
On reconnait la somme d’une série géométrique de raison : −tan(x)².
f_n′(x)=1−(1+tan(x)²)*1−(−tan(x)²)ⁿ⁺¹/1+tan(x)²=(−1)ⁿ⁺¹tan(x)²ⁿ⁺²
2/ La fonction f_2p a une dérivée negative pour tout p ≥ 0, donc f_2p est décroissante. En particulier f_2p(0)=0>f_2p(π/4).
La fonction f_2p+1 a une dérivée positive pour tout p ≥ 0, donc f_2p+1 est croissante. En particulier f_2p+1(0)=0<f_2p+1(π/4).
3/ Dans F0 on tape =subst(D0,x,pi/4) puis, dans le menu Edit, on choisit bouton Remplir et Copier vers le bas, quand E0 est en surbrillance.
f_2p(π/4)=π/4−v_p et f_2p+1(π/4)=π/4−u_p.

III/ 1/ On a donc pour tout p ≥ 0 :
f_2p+1(π/4)=π/4−u_p>0 et f_2p(π/4)=π/4−v_p<0
les suites u et v sont donc adjacentes et convergentes vers π/4.
2/ Donc pour tout p ≥ 0 : u_p<π/4<v_p.
On a donc 4*u₆<π<4*v₆=4*u₆+4/27.
3/ Pour avoir :
4*u_n<π<4*v_n=4*u_n+4/4*n+3 ≤ 4*u_n+10⁻³,
il faut prendre comme n un entier qui vérifie 4*n+3 ≥ 4000, soit n ≥ 1000.
Donc u₁₀₀₀ et v₁₀₀₀ donnent un encadrement de π de diamètre ≤ 10⁻³.

5.6.4  Accélération de convergence

On considère toujours les suites u et v définies par :
u₀=1−1/3 et u_n=u_n−1+1/4n+1−1/4n+3 pour n ≥ 1.
v_n=u_n+1/4n+3 pour n ≥ 0.
1/ Montrer que, pour p>0,

2/ En déduire que, pour n>p>0,

et en déduire un encadrement de u_n−u_p

3/ En faisant tendre n vers +∞, montrer que

4/ On pose w_n=u_n+1/2(4n+5) et t_n=u_n+1/2(4n+3).
En utilisant le tableur, montrer que w_n et t_n sont deux suites adjacentes qui convergent vers π/4 plus rapidement que u_n et v_n. Trouver une valeur de n pour que 4w_n et 4t_n donnent un encadrement de π de diamètre inférieur à 10⁻³.
Correction et prolongement
u₁₀=∑_k=0¹⁰ 1/4k+1−1/4k+3=∑_k=0¹⁰ 2/(4k+1)(4k+3)
On encadre les termes de la série :
∑_k=0¹⁰ 2/(4k+1)(4k+3)
1/2(1/4k+1−1/4k+5)<2/(4k+1)(4k+3)<1/2(1/4k−1−1/4k+3) donc
1/2(1/4p+1−1/4n+5)<u_n−u_p−1<1/2(1/4p−1−1/4n+3).
On a :
w₁₀= u₁₀+1/2(4k+5)=1/2+∑_k=0¹⁰ 4/(4k+1)(4k+3)(4k+5)
On peut continuer le même processus en encadrant les termes de la série :
∑_k=0¹⁰ 4/(4k+1)(4k+3)(4k+5).
On a :
4/(4k+1)(4k+5)(4k+9)<4/(4k+1)(4k+3)(4k+5)<4/(4k−3)(4k+1)(4k+5)
donc
1/2(1/(4k+1)(4k+5)−1/(4k+5)(4k+9))<4/(4k+1)(4k+3)(4k+5)<
1/2(1/(4k−3)(4k+1)−1/(4k+1)(4k+5))
On a donc comme précédemment :
1/2(1/(4p+1)(4p+5)−1/(4n+5)(4n+9))<w_n−w_p−1<
1/2(1/(4p−3)(4p+1)−1/(4n+1)(4n+5))
On pose donc :
s₁₀= w₁₀+1/2(4k+5)(4k+9)
s₁₀=3/5+∑_k=0¹⁰ 24/(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+9)
On peut continuer le même processus en encadrant les termes de la série :
∑_k=0¹⁰ 24/(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+9)
et on pose :
r₁₀= s₁₀+2/(4k+5)(4k+9)*(4k+13)
r₁₀=29/45+∑_k=0¹⁰ 240/(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+9)(4k+13)
On tape pour avoir la valeur approchée de π/4 :
evalf(pi/4)
On obtient :
0.785398163397
On tape pour avoir la valeur approchée de u₁₀ :
sum(2.0/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)
On obtient :
0.774040381616
On tape pour avoir la valeur approchée de w₁₀ :
sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1.0/(2*45)
On obtient :
0.785151492727
Ou on tape pour avoir la valeur approchée de w₁₀ :
sum(4/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)),k,0,10)+0.5
On obtient :
0.785151492727
On tape pour avoir la valeur approchée de s₁₀ :
sum(4/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)),k,0,10)+ 1.0/2+1/(2*45*49)
On obtient :
0.785378250097
Ou on tape pour avoir la valeur approchée de s₁₀ :
sum(24/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)*(4*k+9)),k,0,10)+0.6
On obtient :
0.785378250097
On tape pour avoir la valeur approchée de r₁₀ :
sum(24/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)*(4*k+9)),k,0,10)+
0.6+2/(45*49*53)
On obtient :
0.78539536386
Ou on tape pour avoir la valeur approchée de r₁₀ :
sum(240/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)*(4*k+9)*(4*k+13)),k,0,10) +29.0/45
On obtient :
0.78539536386
On a pour la dernière somme 5 décimales exactes de π/4 :
|l−z₁₀|<2(1/(41*45*49)−1/(45*49*53))<5.1* 10⁻⁶

5.6.5  Comparaison avec une intégrale

Soit pour t ∈ [0;+∞[ la fonction h(t)=1/4t+1−1/4t+3.

1/ Calculer pour k∈ ℕ

2/ Montrer que pour k∈ ℕ

3/ En déduire que

4/ En faisant tendre n vers +∞, montrer que

5/ On pose s_n=u_n+1/4ln(4p+7/4p+5) et z_n=u_n+1/4ln(4p+3/4p+1). En utilisant le tableur, montrer que s_n et z_n sont deux suites adjacentes qui convergent vers π/4 plus rapidement que u_n et v_n. Trouver une valeur de n pour que 4s_n et 4z_n donnent un encadrement de π de diamètre inférieur à 10⁻³.

5.6.6  Prolongement avec la formule d’Euler-Mac Laurin

La formule d’Euler-Mac Laurin à l’ordre 4 On suppose la fonction g suffisamment dérivable et on pose I₀=∫₀¹ g(t) dt. On va intégrer cette intégrale par partie, pour cela on définit le polynôme P₁(x) tel que : P₁′(x)=1 et ∫₀¹ P₁(t) dt=0 donc P₁(x)=x−1/2.
P₁(x) est une fonction impaire en (x−1/2) et on a P₁(1)=−P₁(0)=1/2.
On a :

On continue, en définissant P₂(x) tel que :
P₂′(x)=P₁(x) et ∫₀¹ P₂(t) dt=0 donc P₂(x)=1/2(x−1/2)²−1/24.
P₂(x) est une fonction paire en (x−1/2) et on a P₂(1)=P₂(0)=1/12.
On a :

On recommence en définissant :
P₃′(x)=P₂(x) et ∫₀¹ P₃(t) dt=0.
On a : P₃(x)=1/6(x−1/2)³−1/24(x−1/2) en effet P₃(x) est une primitive de P₂(x) qui est impaire en (x−1/2).
On en déduit que :
P₃(1)=−P₃(0) et puisque ∫₀¹P₂(t)=0 on a :
P₃(1)=P₃(0) donc P₃(1)=−P₃(0)=0.
Ceci se généralise dans la suite pour k>0 on a :
P_2*k+1(1)=P_2*k+1(0)=0.
On a :

En définissant P₄(x) tel que :
P₄′(x)=P₃(x) et ∫₀¹ P₄(t) dt=0, P₄(x) est donc une fonction paire en (x−1/2) et on a P₄(x)=1/24(x−1/2)⁴−1/48(x−1/2)²+7/5760.
On a P₄(1)=P₄(0)=−1/720.
Donc la formule d’Euler-MacLaurin à l’ordre 4 est :

puisque P₅(0)= P₅(1)=0, on a ∫₀¹ g⁽⁴⁾(t) P₄(t) dt=−∫₀¹ g⁽⁵⁾(t) P₅(t) dt.
Donc on a aussi :

Remarque
On peut montrer que le polynôme P_k(x)=B_k(x)/k! où B_k(x) est le k-ième polynôme de Bernoulli, il est solution de :
B_k(x+1)−B_k(x)=kx^k−1, et il vérifie :
te^xt/e^t−1=∑_n=0^∞B_n(x)tⁿ/n!.
Le k-ième nombre de Bernouilli (c’est la commande bernoulli(k) de Xcas) est la valeur du k-ième polynôme de Bernoulli en zéro.
La formule d’Euler-Mac Laurin plus générale à l’ordre r. On a :
∫_p^q f(t)dt=1/2(f(p)+f(q))+∑_n=p+1^q−1f(n)+ ∑_k=2^r(−1)^k/k!bernouilli(k)(f^(k−1)(p)−f^(k−1)(q))+ ∫₀¹ ∑_n=p+1^q(−1)^rf(u+n−1)B_r(u)/r!du

Comparaison de ∑_k=p+1ⁿf(k) avec ∫_pⁿ f(t) dt

On a ∑_k=p+1ⁿf(k)−∫_pⁿ f(t) dt=∑_k=p+1ⁿ∫_k−1^k(f(k)− f(t)) dt.
On se ramène à l’intervalle [0;1] en posant u+k−1=t :
∫_k−1^k(f(k)− f(t)) dt=∫₀¹(f(k)− f(u+k−1)) du
puis on applique la formule d’Euler-Mac Laurin à g(u)=f(k)− f(u+k−1) (g(1)=0, g(0)=f(k)−f(k−1), g′(u)=−f′(u+k−1)....) :
∫₀¹(f(k)− f(u+k−1)) du=f(k)−f(k−1)/2+f′(k)−f′(k−1)/12
−f‴(k)−f‴(k−1)/720+∫₀¹ f⁽⁴⁾(u+k−1) P₄(u) du
donc
∑_k=p+1ⁿ∫₀¹(f(k)− f(u+k−1)) du=f(n)−f(p)/2+f′(n)−f′(p)/12−f‴(n)−f‴(p)/720+
                 ∫₀¹ ∑_k=p+1ⁿf⁽⁴⁾(u+k−1) P₄(u) du
On trouve :
P₀=1
P₁=x−1/2
P₂=x²/2−x/2+1/12
P₃=x³/6−x²/4+x/12
P₄=x⁴/24−x³/12+x²/24−1/720
P₅=x⁵/120−x⁴/48+x³/72−x/720
P₆=x⁶/720−x⁵/240+x⁴/288−x²/1440+1/30240
car int(x^6/720-x^5/240+x^4/288-x^2/1440,x,0,1)=-1/30240
Application à f(t)=1/4t+1−1/4t+3
La série de terme général u_n=f(n)=2/(4n+1)(4n+3) est convergente et,
∑_k=0^∞f(k)=π/4=l , on a :
f′tt)=−4/(4t+1)²+4/(4t+3)²
f″(t)=32/(4t+1)³−32/(4t+3)³
f‴(t)=−384/(4t+1)⁴+384/(4t+3)⁴
f⁽⁴⁾(t)=6144/(4t+1)⁵−6144/(4t+3)⁵
f⁽⁵⁾(t)=−6144*20/(4t+1)⁶+6144*20/(4t+3)⁶
On remarque au passage que f⁽⁵⁾ est négative et croissante et que :
pour k≥ p+1 on a 0<|f⁽⁵⁾(k)|<C/p⁶.
On calcule :
∫_pⁿ f(t) dt=1/4(ln(4n+1)−ln(4n+3)−(ln(4p+1)−ln(4p+3)))
en faisant tendre n vers +∞ on a :
∑_k=p+1^∞f(k)=l−∑_k=0^p f(k) donc
l=∑_k=0^p f(k)+∫_p^∞f(t) dt−f(p)/2−f′(p)/12+f‴(p)/720−
      ∑_k=p+1ⁿ∫₀¹ f⁽⁵⁾(u+k−1) P₅(u) du
l=∑_k=0^p 1/4k+1−1/4k+3+1/4(ln(1+2/4p+1)−5 1/(4p+1)(4p+3)+1/3(1/(4p+1)²−1/(4p+3)²)−8/15(1/(4p+1)⁴−1/(4p+3)⁴)−∑_k=p+1^∞∫₀¹ f⁽⁵⁾(u+k−1) P₅(u) du.
et on a :
|∑_k=p+1^∞∫₀¹ f⁽⁴⁾(u+k−1) P₄(u) du|≤ ∑_k=p+1^∞|f⁽⁵(k−1)|∫₀¹ |P₅(u)| du|<Cste/p⁵
En effet on a :
∑_k=p+1^∞|f⁽⁵(k−1)|<C∑_k=p+1^∞1/p⁶<Cste/p⁵
car on compare le reste de la série ∑_k=p+1^∞1/p⁶ avec l’intégrale ∫_p^∞1/t⁶dt=1/(5p⁵) On a donc le développement asymptotique z_p à l’ordre 5 de l:
l=π/4 ≃ z_p=u_p+1/4ln(1+2/4*p+1)−1/(4*p+1)(4*p+3)+1/3*(1/(4*p+1)²−1/(4*p+3)²)−8/15*(1/(4*p+1)⁴−1/(4*p+3)⁴)
On peut faire un développement limité à l’ordre 5 :
1/4ln(1+2/4*p+1) lorsque p tend vers +∞.
En posant x=1/(4p+1), on tape :

On obtient :

On tape :

On obtient :

On peut aussi faire un développement asymptotique (p tend vers +∞) à l’ordre 5 de :
1/4*ln(1+2/(4p+1))−1/((4p+1)(4p+3))+1/3*(1/(4p+1)²−1/(4p+3)²)−
8/15*(1/(4p+1)⁴−1/(4p+3)⁴)
En posant x=1/(4p+1), on tape :

On obtient :

On tape :

On obtient :

Sans faire un développement limité de 1/4ln(1+2/4*p+1) lorsque p tend vers +∞ on tape et on obtient :

sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1.0/4*log(1+2/41)
0.785947393863

sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1/4*log(1+2/41)-1.0/(41*43)
0.785380178889

sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1/4*log(1+2/41)-1.0/(41*43)+
8*21/3/(41^2*43^2)
0.785398195927

sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1/4*log(1+2/41)-1.0/(41*43)+
8*21/3/(41^2*43^2)-8/15*(1/41^4-1/43^4)
0.785398163187

On rappelle que evalf(pi/4)=0.785398163397
On a donc pour la dernière somme 9 décimales exactes de π/4 ...