Chapitre 4  Résolution d’exercices de statistiques

4.1  Statistiques à 1 variable

• Exercice 1
  Voici les notes obtenues dans une classe de terminale.
  6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,11,8,7,10
  Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série.
  On tape :
  mean([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,
  18,10,9,11,8,7,10])
  On obtient :
  [10.15]
  On tape :
  stddev([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,
  18,10,9,11,8,7,10])
  On obtient :
  sqrt(4451/400) ≃ [3.33579076082]
  On tape :
  quartiles([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,
  18,10,9,11,8,7,10])
  On obtient :
  [[4.0],[8.0],[10.0],[11.0],[18.0]]
  Donc la plus mauvaise note est 4 et la meilleure note est 18.
  La médiane est 10, de plus 25% des élèves ont une note inférieure à 8, et 25% des élèves ont une note supérieure à 11 ou encore 50% des élèves ont une note entre 8 et 11.
• Exercice 2
  Sur un échantillon de 100 personnes, on relève leur taille.
  y désigne la taille en centimètres et n l’effectif, on obtient le tableau :
  

  y	150<y ≤ 155	155<y ≤ 160	160<y ≤ 165	165<y ≤ 170
  n	30	25	23	22

  Construire l’histogramme.
  Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série.
  Avec Xcas, on utilise un tableur que l’on obtient avec le raccourci clavier Alt+t.
  On remplit la colonne A :
  on met 150..155 dans A0, 155..160 dans A1 etc...ou on tape dans A1=A0+5 puis on remplit vers le bas avec le menu du tableur Edit puis Remplir puis Copier vers le bas.
  On remplit la colonne B :
  on met 30 dans B0, 25 dans B1 etc...
  On sélectionne ces 2 colonnes pour cela, soit on le fait à la souris soit on tape dans la case de sélection A0..B3.
  Avec le menu du tableur Statistiques puis 1d puis histogram, on obtient l’histogramme.
  On tape dans A4 :
  =mean(A0:A3,B0:B3)
  On obtient la moyenne : 3187/20
  On tape dans B4 :
  =stddev(A0:A3,B0:B3)
  On obtient l’écart-type : sqrt(12731/400) ≃ 5.64158665625
  On obtient le résultat dans la ligne de commande en appuyant sur eval et la valeur approchée avec la commande evalf.
• Exercice 3
  Sur un échantillon de 100 personnes, on relève leur poids.
  x désigne le poids en kilogrammes et n l’effectif, on obtient le tableau :

  x	40<x ≤ 45	45<x ≤ 50	50<x ≤ 55	55<x ≤ 60
  n	22	33	24	21

  Construire l’histogramme.
  Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette série.

  Avec Xcas, on utilise un tableur que l’on obtient avec le raccourci clavier Alt+t.
  On remplit la colonne C :
  on met 40..45 dans C0, 45..50 dans C1 etc...
  On remplit la colonne D :
  on met 22 dans D0, 33 dans D1 etc...
  On sélectionne ces 2 colonnes, on peut faire cette sélection à la souris ou en tapant dans la case de sélection C0..D3.
  Avec le menu du tableur Statistiques puis 1d puis histogram, on obtient l’histogramme.
  On tape dans C4 :
  =mean(C0:C3,D0:D3)
  On obtient la moyenne : 497/10
  On tape dans D4 :
  =stddev(C0:C3,D0:D3)
  On obtient l’écart-type : sqrt(1383/50) ≃ 5.25927751692
  On obtient le résultat dans la ligne de commande en appuyant sur val et la valeur approchée avec la commande evalf .

4.2  Intervalle de confiance

Un exercice pour bien comprendre qu’un intervalle de confiance dépend de l’échantillon.
Une usine fabrique des pièces de diamètre µ. On suppose que la variable aléatoire X qui, à chaque pièce associe son diamètre suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ=1.1.
On cherche à estimer µ à partir d’un échantillon d’effectif n=40.
On regroupe les résultats en classes, on a obtenu :
2 pièces ont un diamètre entre 32.5 et 33.5,
7 pièces ont un diamètre entre 33.5 et 34.5,
19 pièces ont un diamètre entre 34.5 et 35.5,
8 pièces ont un diamètre entre 35.5 et 36.5,
3 pièces ont un diamètre entre 36.5 et 37.5,
1 pièce a un diamètre entre 37.5 et 38.5,
1/ Déterminer la moyenne, l’écart-type et l’histogramme de cet echantillon.
Réponse :
On tape dans la colonne A :
33,34,35,36,37,38 (ou 32.5..33.5 etc...mais c’est plus long!!!) et
dans la colonne B :
2,7,18,8,3,2.
puis en A9 on tape =mean(A0:A5,B0:B5),
on trouve 1409/40 =35.225 et
en B9 on tape =stddev(A0:A5,B0:B5),
on trouve sqrt(2039/1600≃ 1.12888219049.
Pour réaliser l’histogramme on sélectionne les colonnes A et B, on peut faire la sélection à la souris ou on tape dans la case de sélection A0,5,B.
Avec le menu Statistiques du tableur, on choisit 1d puis histogram et on obtient l’histogramme.
2/ Déterminer à partir de l’échantillon : - un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne µ, et
- un intervalle de confiance à 99% pour la moyenne µ.
Réponse :
On connait σ et on sait que la variable X égale à la moyenne des échantillons de taille n suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ/√n.
On a σ/√n=1.1/√40=0.173925271309.
On sait que l’on a :
Prob(|X−µ|<k*σ/√n)=0.95 pour k=1.96 et,
Prob(|X−µ|<k*σ/√n)=0.99 pour k=2.576
donc on a:
X−1.96*σ/√n<µ<X+1.96*σ/√n dans 95% des cas et,
X−2.576*σ/√n<µ<X+2.576*σ/√n dans 99% des cas.
Au vu de l’échantillon on a X=35.225:
a₁=35.225−1.96*1.1/√40=34.8841064682
b₁=35.225+1.96*1.1/√40=35.5658935318
a₂=35.225−2.576*1.1/√40=34.7769685011
b₂=35.225−2.576*1.1/√40= 35.6730314989
Avec Xcas on tape et on obtient :
a1:=normal_icdf(1409/40,1.1/sqrt(40),0.025)
=34.8841127322
b1:=normal_icdf(1409/40,1.1/sqrt(40),0.975)
=35.5658872678
a2:=normal_icdf(1409/40,1.1/sqrt(40),0.005)
=34.7769981895
b2:=normal_icdf(1409/40,1.1/sqrt(40),0.995)
=35.6730018105
on en déduit que :
[34.88;35.57] est un intervalle de confiance à 95% pour µ et que
[34.77;35.68] est un intervalle de confiance à 99% pour µ.
3/ On suppose encore que σ=1.1 et qu’un échantillon de taille n=100 a une moyenne de 35.225.
Déterminer à partir de cet échantillon, un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne µ.
Réponse :
On a:
Proba(X−1.96*σ/√n<µ<X+1.96*σ/√n)=0.95.
Au vu de cet échantillon la valeur de X est de 35.225 on a :
35.225−1.96*1.1/√100=35.0094
35.225+1.96*1.1/√100=35.4406
Ou avec Xcas on tape :
normal_icdf(35.225,1.1/sqrt(100),0.025)
On obtient : 35.0094039617
normal_icdf(35.225,1.1/sqrt(100),0.975)
On obtient : 35.4405960383
On en déduit que :
[35 ; 35.45] est un intervalle de confiance pour µ au seuil de 5%.
Donc quand on augmente la taille de l’échantillon on a un intervalle de confiance de plus faible amplitude, en effet, on a une information plus précise avec un échantillon de taille plus grande.
4/ On suppose que X suit la loi normale N(35.25,1.1).
Simuler la prise de 5 échantillons de taille 100 et déterminer pour chacun des échantillons un intervalle de confiance pour la moyenne µ au seuil de 5%, dans les deux cas suivant :
a/ lorsqu’on suppose que l’on connait σ=1.1
b/ lorsqu’on estime σ à l’aide de l’échantillon.
Réponse :
On demande d’avoir 102 lignes dans le tableur en tapant A102 dans la case de sélection.
On tape en A0 : =randnorm(35.25,1.1)
puis on sélectionne A0 et on appuie sur remplir et vers le bas.
On tape en A100 : =mean(A0:A99)
On tape en A101 : =stddev(A0:A99)
On tape en A102 : =A101*10/sqrt(99)
puis on recopie toutes ces formules sur les colonnes B,C,D,E si on veut voir les 5 échantillons et on se met en mode manual,on sélectionne pour cela Ne pas recalculer automatiquement dans le sous-menu Configuration du menu Edit du tableur. En effet en mode auto chaque fois que l’on valide une cellule contenant =randnorm(35.25,1.1), on a un nouvel échantillon grâce au recalcul automatique.
On obtient par exemple :
La ligne 100 est la liste m des valeurs des moyennes des 5 échantillons :
[35.2341469676,35.3942572081,35.0898127739,
35.1447916945,35.2456441276],
La ligne 101 est la liste s des valeurs des écarts-types des 5 échantillons :
[1.00342913254,1.14149481601,1.19977064554,
1.00252282025,1.09862748198],
ligne 102 est la liste σ_est des valeurs estimées de l’écart-type σ :
[1.00848422314,1.14724545601,1.20581486841,
1.00757334501,1.10416216427]
On rajoute 2 lignes au tableur (dans la case de sélection on tape A104) Dans la cellule A103 on tape puisque 1.1/√100=0.11 :
normal_icdf(A100,0.11,0.025)..normal_icdf(A100,0.11,0.975) On recopie cette formule sur la ligne 103.
On obtient sur la ligne 103 :
[35.0185509293..35.4497430059,35.1786611698..35.6098532464,
34.8742167356..35.3054088122,34.9291956562..35.3603877328,
35.0300480893..35.4612401659]
d’où lorsqu’on connait σ=1.1, les intervalles de confiance pour µ, au seuil de 5%, sont pour les 5 échantillons :
[35.0185509293 ; 35.4497430059]
[35.1786611698 ; 35.6098532464]
[34.8742167356 ; 35.3054088122]
[34.9291956562 ; 35.3603877328]
[35.0300480893 ; 35.4612401659]
Dans la cellule A104, on tape, puisque l’on estime σ/√100 par s/√99 :
normal_icdf(A100,A101/sqrt(99),0.025)..
normal_icdf(A100,A101/sqrt(99),0.975)
On recopie cette formule sur la ligne 104.
On obtient sur la ligne 104 :
[35.0364840599..35.4318098753,35.1693970987..35.6191173175,
34.8534730597..35.3261524881,34.9473073189..35.3422760701,
35.0292283434..35.4620599118]
d’où lorsqu’on estime σ, les intervalles de confiance pour µ, au seuil de 5%, sont pour les 5 échantillons :
[35.0364840599 ; 35.4318098753]
[35.1693970987 ; 35.6191173175]
[34.8534730597 ; 35.3261524881]
[34.9473073189 ; 35.3422760701]
[35.0292283434 ; 35.4620599118]
Si on reunit ses 5 échantillons on a :
n=500
m=(m[0]+m[1]+m[2]+m[3]+m[4])/5=176.108652772/5=35.2217305544
s²=(s[0]²+s[1]²+s[2]²+s[3]²+s[4]²)/5=1.19227287804 donc
σ_est=s√500/499=√1.19227287804*500/499=1.09300603953
d’où pour cet échantillon, un intervalle de confiance pour µ, au seuil de 5%, est : [35.1259243509 ; 35.3175367579]
car
35.2217305544-1.96*1.09300603953/sqrt(500)=35.1259243509 et
35.2217305544+1.96*1.09300603953/sqrt(500)=35.3175367579
5/ On suppose que X suit la loi normale N(35.25,1.1).
Simuler la prise de 5 échantillons de taille 40 et déterminer pour chacun des échantillons un intervalle de confiance pour la moyenne µ, au seuil de 5%, dans les deux cas suivant :
a/ lorsqu’on suppose que l’on connait σ=1.1
b/ lorsqu’on estime σ à l’aide de l’écart type de l’échantillon.
Réponse :
On considére un échantillon de taille n=40.
Il a pour moyenne m=35.531073986 et pour écart type s=1.00296897139
Pour les quatres autres échantillons de taille 40 on trouve par exemple :
m=35.6360091101 et s=1.29301963917
m=35.0684414822 et s=0.951157103863
m=35.4535840905 et s=0.917989271482
m=35.0910551678 et s=1.05109677585
a/ X suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type :
σ/√40=1.1/√40=0.173925271309.
On a:
X−1.96*σ/√n<µ<X+1.96*σ/√n dans 95% des cas.
On a, pour le premier échantillon :
m−1.96*1.1/√40=35.1901804542 et,
m+1.96*1.1/√40=35.8719675178,
d’où un intervalle de confiance de [35.19;35.88] pour µ, au seuil de 5%.
b/ On suppose que l’on ne connait pas σ. Ici, n est trop petit pour évaluer σ à l’aide de l’écart type s de l’échantillon.
On considère alors, T=√n−1X-µ/S avec :
S²=1/n∑_j=1ⁿ(X_j-X)²
X_j est la variable aléatoire qui au j^ième tirage associe son résultat et
X=1/n∑_j=1ⁿ X_j.
Alors T suit une loi de Student à (n−1) degrés de liberté.
Ici n=40 et on lit sur la table de Student que lorsque il y a ν=39 degrés de liberté, Proba(−t<T<t)=0.95 pour t=2.023.
Ou bien avec Xcas on tape :
student_icdf(39,0.025)
On obtient :
-2.02269092002
student_icdf(39,0.975)
On obtient :
2.02269092002
Donc X−t*S/√39<µ<X+t*S/√39.
Pour le premier échantillon on trouve : m=35.531073986
s=1.00296897139
m−2.023*s/√39=35.2061729645
m+2.023*s/√39=35.8559750075
d’où un intervalle de confiance de [35.2;35.86] pour µ au seuil de 5%.
Pour les 4 autres échantillons, on trouve :
[35.2171492913;36.0548689289]
[34.7603243584;35.376558606]
[35.1562113297;35.7509568513]
[34.7505636611;35.4315466745]
En estimant σ par s √40/39 on aurait obtenu pour le premier échantillon :
[35.2162967736;35.8458511984]
En effet avec Xcas on tape :
normal_icdf(35.531073986,1.00296897139/sqrt(39),0.025)
On obtient :
35.2162967736
On tape :
normal_icdf(35.531073986,1.00296897139/sqrt(39),0.975)
On obtient :
35.8458511984

4.3  Intervalle de confiance d’une fréquence

• Exercice 1
  Sur un registre d’état civil, on a relevé 552 naissances dont 289 garçons.
  a/ Estimer la fréquence p de naissance d’un garçon.
  b/ Donner un intervalle de confiance pour cette estimation.
  Réponse
  a/ on a f=289/552≃ 0.523, on estime donc p à 0.523
  b/ Soit p_est un nombre entre 0 et 1 et on fait l’hypothése bilatérale :
  H₀: p=p_est (H₁: p ≠ p_est).
  Peut-on accepter ou rejeter l’hypothèse p=p_est au seuil α=0.05 ?
  Soit X la variable aléatoire égale à 1 pour la naissance d’un garçon et égale à 0 pour la naissance d’une fille. Soient X₁...X₅₅₂ les variables X correspondant aux 552 naissances et soit Y la variable aléatoire égale à ∑X_i/n = moyenne du nombre de garçons obtenus pour un échantillon d’effectif 552.
  La distribution Y est voisine d’une distribution normale de moyenne p_est et d’écart type σ=√p_est(1−p_est)/552.
  On a donc Proba(|Y−p_est|<1.96σ)=0.95.
  La valeur de Y lors de l’expérimentation est 289/552.
  Soit A l’évènement |Y−p_est|≥ 1.96σ.
  On rejette l’hypothèse bilatérale p=p_est si Proba(A) ≤ 0.05 et on l’accepte sinon.
  Pour quelles valeurs de p_est a-t-on P(A) ≤ α=0.05 ?
  On a :
  Proba(|Y−p_est|=|289/552−p_est|≤ 1.96√p_est*(1−p_est)/552)=0.95
  Résolvons l’inéquation où l’inconnue est p_est :
  (289/552−p_est)²−1.96²*p_est*(1−p_est)/552<0
  ce qui veut dire que p_est est à l’intérieur des racines de l’équation en x :
  (289−552x)²−1.96²*552x*(1−x)=0.
  On tape :
  solve((289-552*x)^2-1.96^2*552*x*(1-x)=0)
  On obtient :
  [0.481866594885,0.564909321131]
  Ou on tape :
  solve((289-552*x)^2-1.96^2*552*x*(1-x)<0)
  On obtient :
  [(x>0.481866594885) && (x<0.564909321131)]
  Conclusion : on a p ∈ [0.481 ; 0.565] avec une probabilité de 0.95.
  Remarque : on peut faire un calcul plus rapide car on peut estimer σ par : √f*(1−f)/551=√289*(552−289)/552²/551≃0.0212770747076.
  Donc k=1.96*0.0213 <0.042 ce qui donne comme intervalle de confiance de p au seuil de 5% égal à :
  [0.523−0.042=0.481 ; 0.523+0.042=0.565]
  Avec Xcas, on tape :
  normal_icdf(289/552,0.0212770747076,0.025)
  On obtient :
  0.481848424514
  normal_icdf(289/552,0.0212770747076,0.975)
  On obtient :
  0.565253024761
  ce qui donne [0.4818 ; 0.5653] comme intervalle de confiance de p au seuil de 5%.
• Exercice 2
  Dans un hôpital sur un échantillon de 458 malades admis pendant un trimestre il y a eu 141 décès. Estimer le pourcentage de décès par un intervalle de confiance au seuil de 0.01.
  Réponse
  On a :
  n=458,
  f=141/458 ≃ 0.307860262009,
  σ ≃ √f(1−f)/457=0.0215931304967
  normal_icdf(0,1,0.995)=2.57582930355 ≃ 2,58
  On obtient, si Y est la variable aléatoire moyenne du nombre de décès pour des échantillons de taille 458 :
  P(|Y−p|≥ k)=0.01 pour k=0.258*σ ≃ 0.056 donc un intervalle de confiance du pourcentage de décès, au seuil de 0.01 égal à : [0.252; 0.364]
  Avec Xcas, on tape :
  normal_icdf(141/458,0.0215931304967,0.005)
  On obtient :
  0.25224004372
  normal_icdf(141/458,0.0215931304967,0.995)
  On obtient :
  0.363480480297
  ce qui donne [0.252 ; 0.364], comme intervalle de confiance de p au seuil de 5%.

4.4  Statistiques à 2 variables

• Exercice 1
  Sur un échantillon de 100 personnes, on relève leur poids et leur taille.
  x désigne le poids en kilogrammes et y désigne la taille en centimètres on obtient le tableau :
  

  "y x"	40<x ≤ 45	45<x ≤ 50	50<x ≤ 55	55<x ≤ 60
  150<y ≤ 155	20	9	1	0
  155<y ≤ 160	2	18	4	1
  160<y ≤ 165	0	5	12	6
  165<y ≤ 170	0	1	7	14

  Représenter graphiquement le nuage de points.
  Calculer le coefficient de corrélation.
  Réponse
  On remplit le tableur (colonnes A,B,C,D,E) avec le tableau ci-dessus en remplacant chaque classe par son centre, pou cela, on se place sur A0 et on met :
  [["y x",42.5,47.5,52.5,57.5],[152.5,20,9,1,0],
  [157.5,2,18,4,1],[162.5,0,5,12,6],[167.5,0,1,7,14]]
  dans la ligne de commande, et sur une seule ligne, puis on valide (ne pas mettre = pour remplir plusieurs cellules).
  On tape alors dans F0 :
  =covariance(list2mat(A0:E4,5),-1)
  ou on tape dans une ligne d’entrée :
  covariance([["y\x",42.5,47.5,52.5,57.5],
  [152.5,20,9,1,0],[157.5,2,18,4,1],[162.5,0,5,12,6],
  [167.5,0,1,7,14]],-1)
  On obtient dans F0 ou en réponse :
  24.18
  On tape dans F1 :
  correlation(list2mat(A0:E4,5),-1)
  ou on tape dans une ligne d’entrée :
  correlation([["y x",42.5,47.5,52.5,57.5],[152.5,20,9,1,0],
  [157.5,2,18,4,1],[162.5,0,5,12,6],[167.5,0,1,7,14]],-1)
  On obtient dans F1 ou en réponse :
  0.814946211639
• Exercice 2
  Lors d’une épidémie on a relevé, à intervalles réguliers, le nombre de cas déclarés :

  numéro du relevé : xj	1	2	3	4
  nombre de cas : yj	94	221	446	1050

  1/ Représenter les points (x_j,y_j) dans un repère convenable.
  Un ajustement affine parait-il justifié ?
  2/ On pose z_j=ln(y_j) où ln désigne le logarithme népérien.
  Détérminer des valeurs décimales approchées à 0.01 près de z₁, z₂, z₃, z₄.
  Représenter les points (x−j,z_j) dans un repère convenable.
  3/ Détérminer l’équation de la droite de régression pour la série statistique (x_j,z_j).
  4/ Tracer cette droite sur le graphique de la question 2/.
  Utiliser cet ajustement affine pour obtenir une formiule donnant approximativement y_j en fonction de x_j.
  En déduire le nombre de cas prévisibles au 5-ième relevé.
  Réponse
  Avec Xcas on tape :
  evalf(log([94,221,446,1050]))
  On obtient :
  [4.54329478227,5.39816270152,6.10031895202,
  6.95654544315]
  et si on demande un calcul avec 3 chiffres significatifs (bouton rouge cas et on met Chiffres à 3 puis OK) on obtient :
  [4.54,5.4,6.1,6.96]
  On tape :
  linear_regression([1,2,3,4],[4.54,5.4,6.1,6.96])
  On obtient :
  0.794190823313,3.76410341145
  donc z=0.794 x+3.76
  On tape :
  exponential_regression([1,2,3,4],[94.0,221,446,1050])
  On obtient :
  2.21264984755,43.1250231194
  donc y=43.1*2.21^x
  Vérifions :
  y=exp(z)=exp(0.794*x+3.76)=42.9*2.21^x)
  Pour x=5 on a z(5)=0.794*5+3.76=7.73 donc
  y(5)=exp(z(5))=exp(7.73)≃ 2275
  ou encore y(5)=43.1*2.21⁵≃ 2272

4.5  Comparaison de deux échantillons

4.5.1  Test de comparaison de deux moyennes

• Exercice 1
  Pour une même épreuve, voici les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée A.
  6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,11,8,7,10.
  et les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée B.
  2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19,9,11,8,9,10
  1/ Analyser les résultats de chaque groupe.
  2/ Peut-on considérer que les 2 groupes sont issus d’une même population ?
  Réponse

  1/ On tape :

  mean([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10, 9,11,8,7,10])

  On obtient :

  [10.15]

  On tape :

  stddev([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10, 9,11,8,7,10])

  On obtient :

  sqrt(4451/400) ≃ [3.33579076082]

  Le lycée A a une moyenne de 10.15 et un écart type d’environ 3.34.
  On tape :

  mean([2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19, 9,11,8,9,10])

  On obtient :

  9.95

  On tape :

  stddev([2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19, 9,11,8,9,10])

  On obtient :

  sqrt(6179/400) ≃ 3.93033077488

  Le lycée B a une moyenne de 9.95 et un écart type d’environ 3.93.
  On tape pour le lycée A :

  quartiles([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10, 9,11,8,7,10])

  On obtient :

  [[4.0],[8.0],[10.0],[11.0],[18.0]]

  On tape pour le lycée B :

  quartiles([2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19, 9,11,8,9,10])

  On obtient :

  [[1.0],[9.0],[10.0],[12.0],[19.0]]

  On voit que dans le lycée B la moitie des élèves ont entre 9 et 12 alors que dans le lycée A la moitie des élèves ont entre 8 et 11. Donc bien que la moyenne du lycée B soit inférieure à la moyenne du lycée A il semble que la classe du lycée B soit meilleure que celle du lycée A. 2/ Si on considère que les deux classes constituent deux échantillons pris au hasard dans une population où la note de l’épreuve est une variable aléatoire X de moyenne µ et d’écart-type σ.
  La reunion des 2 échantillons donne un échantillon de taille n=40.
  de moyenne µ ≃ (9.95+10.15)/2=10.05 et d’écart-type s.
  On tape :
  stddev([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,
  11,8,7,10, 2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19,
  9,11,8,9,10])
  On obtient :
  s=sqrt(5319/400) ≃ 3.64657373434.
  La variable aléatoire X₄₀, égale à la moyenne des échantillons de taille 40 a donc pour moyenne :
  µ=10.05 et pour écart-type :
  σ/√40≃ s/√39=0.583919119794.
  Donc σ ≃ 3.69302877574
  Remarque : On sait que la statistique displaystyle n₁S₁²+n₂S₂²/n₁+n₂−2 est un estimateur sans biais de σ² si σ est l’écart-type de X (cf 3.8.2). La valeur de cette statistique est obtenue à partir de deux échantillons de taille respective n₁ et n₂ et d’écart-type respectif s₁ et s₂ qui sont les valeurs de S₁ et de S₂ (avec comme notation S²=1/n∑_j (X_j−X)² pour un échantillon de taille n de la variable X).
  On tape (ici n₁=n₂=20, n₁+n₂−2=38, s₁²=4451/400, s₂²=6179/400) :
  sqrt(20/38*(6179/400+4451/400))
  On obtient alors comme approximation de σ : 3.7398986758
  On pose comme hypothèse H₀ : µ₁=µ₂=µ et pour hypothèse alternative H₁ : µ₁ ≠ µ₂ et on teste ces hypothèses au seuil de 0.05.
  Ā−B suit une loi normale de moyenne 0 et d’écart type σ√1/20+1/20.
  On a :
  σ=s√40/39
  s=√5319/400
  σ√1/20+1/20 ≃ s√40/39/10≃ √5319/100/39≃ 1.16783823959
  Avec Xcas, on tape :
  normal_icdf(0,1.16783823959,0.975)
  On obtient :
  2.28892088937
  normal_icdf(0,1.16783823959,0.025)
  On obtient :
  -2.28892088937
  On a m₁−m₂=10.15−9.95=0.2 et comme
  −2.28892088937<0.2< 2.28892088937,
  on accepte l’hypothèse µ₁=µ₂ au seuil de 5%.
  Autre méthode
  On peut aussi utiliser la loi de Student :
  On considére que µ₁=µ₂=µ.
  Alors T=(Ā− B)√38/√(20s₁²+20s₂²)(1/20+1/20) suit une loi de Student à 38 degrés de liberté.
  On calcule la valeur t de T pour l’échantillon on tape :
  t:=(10.15-9.95)*sqrt(38)/sqrt(2*3.34^2+3.93^2)
  On obtient : 0.200644948434 On tape :
  student_icdf(38,0.975)
  On obtient : 2.02439416391
  Puisque −2.02439416391<0.2<2.02439416391, on accepte l’hypothèse µ₁=µ₂=µ au seuil de 5%.

• Exercice 2
  Deux entreprises A et B livrent des pièces dans des paquets de 100 pièces. On note X₁ (resp X₂) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses par paquet provenant de A (resp B).
  On note X₁ (resp X₂) la variable aléatoire égale au nombre moyen de pièces défectueuses par paquet pour des échantillons aléatoires de 49 paquets (resp 64 paquets) provenant de A (resp B).
  I) Sur un échantillon de 49 paquets provenant de A on compte le nombre de pièces défectueuses dans chaque paquet et on trouve :
  7, 5, 5, 4, 4, 4, 9, 7, 9, 2, 7, 8, 7, 8, 4, 4, 9, 10,
  5, 10, 6, 4, 5, 6, 1, 2, 5, 7, 8, 0, 6, 0, 1, 5, 2, 0,
  5, 2, 3, 3, 4, 1, 3, 10, 1, 0, 10, 2, 7
  1/ Calculer la moyenne m₁ et l’écart-type s₁ de cet échantillon.
  2/ Donner une estimation de la moyenne µ₁ et de l’écart-type σ₁ de X₁.
  3/ Donner une estimation de la moyenne et de l’écart-type de X₁
  Réponse :
  1/ On met les données dans la colonne A du tableur ou on donne un nom à la liste du nombre de pièces défectueuses dans chaque paquet.
  - Dans le tableur on tape les données dans les cellules A0..A48, puis en A49 on tape :
  mean((A0):(A48))
  On obtient :
  237/49 ≃ 4.83673469388.
  en A50 on tape :
  stddev((A0):(A48))
  On obtient :
  sqrt(21006/2401 ≃ 2.9578462847.
  - Dans une ligne d’entrée, on tape :
  L:=[7,5,5,4,4,4,9,7,9,2,7,8,7,8,4,4,9,10,
  5,10,6,4,5,6,1,2,5,7,8,0,6,0,1,5,2,0,
  5,2,3,3,4,1,3,10,1,0,10,2,7]
  puis on tape : mean(L)
  On obtient m₁ :
  237/49 ≃ 4.83673469388 ≃ 4.84.
  puis on tape : stddev(A)
  On obtient s₁:
  sqrt(21006/2401) ≃ 2.9578462847.
  2/ On a un échantillon de grande taille (n₁=49) donc d’après la loi des grands nombres, on estime µ₁ par m₁= 237/49 ≃ 4.84 et σ₁ par :
  s₁√n₁/n₁−1=√21006/2401√49/48≃ 2.98849836021≃ 2.99.
  Donc X₁ suit à peu près une loi normale de moyenne m₁=4.84 et d’écart-type σ₁=2.99.
  3/ La variable aléatoire X₁ égale à la moyenne des échantillons de taille 49 suit à peu près une loi normale de moyenne µ₁=4.84 et d’écart-type σ₁/√49 ≃ s₁/√48≃ 0.426928337173≃ 0.427.
  II) Sur un échantillon de 64 paquets provenant de l’entreprise B on trouve une moyenne m₂=3.88 et un écart-type s₂=1.45:
  1/ Donner une estimation de la moyenne µ₂ et de l’écart-type σ₂ de X₂.
  2/ Donner une estimation de la moyenne et de l’écart-type de X₂.
  Réponse :
  1/ On a un échantillon de grande taille (n₂=64) donc d’après la loi des grands nombres, on estime µ₂ par m₂=3.88 et σ₂ par :
  s₂√n₂/n₂−1=1.45√64/63≃ 1.46146262897≃ 1.46
  On a donc X₂ suit une loi de moyenne m₂=3.88 et d’écart-type σ₁=1.46.
  2/ La variable aléatoire X₂ égale à la moyenne des échantillons de taille n₂=64 suit à peu près une loi normale de moyenne µ₂=3.88 et d’écart-type σ₂/√64 ≃ s₂/√63≃ 0.182682828621≃ 0.183
  III) On note D la variable aléatoire X₁−X₂.
  1/ Quelle est la loi de probabilité de D ? Déterminer la moyenne et l’écart-type de D.
  2/ On pose pour hypothèse nulle H₀ : µ₁=µ₂ et pour hypothèse alternative H₁ : µ₁ ≠ µ₂. Calculer sous H₀, les nombres h et k tels que :
  Proba(−h<D<h)=0.99 et Proba(−k<D<k)=0.95.
  3/ Peut-on conclure après examen des échantillons donnés en I et II que la différence des moyennes observées est significative au seuil de risque de 1% ? au seuil de risque de 5% ?
  Réponse :
  1/ D suit à peu près une loi normale de moyenne :
  µ₁−µ₂ ≃ 4.84−3.88=0.96
  et d’écart-type :
  √σ₁²/49+σ₂²/64 ≃ √s₁²/48+s₂²/63=
  √21006/(2401*48)+1.45²/63 ≃ 0.453082418658≃ 0.46
  car la variance de D est la somme des variances de X₁ et de X₂.
  2/ Sous l’hypothèse H₀, D suit à peu près une loi normale de moyenne 0 et d’écart-type σ(D)=0.46.
  h et k sont tels que :
  Proba(−h<D<h)=0.99 et Proba(−k<D<k)=0.95.
  Donc d’après les tables de la loi normale on a :
  h=2.58* σ_D=2.58*0.46=1.1868≃ 1.19 et
  k=1.96* σ_D=1.96*0.46=0.9016≃ 0.9.
  Ou bien avec Xcas on a :
  h:=normal_icdf(0,0.46,0.995)=1.18488147963
  k:=normal_icdf(0,0.46,0.975)=0.901583432888
  3/ Puisque la valeur de D pour l’échantillon est égale à 0.96, on conclut qu’au seuil de 5% on rejette l’hypothèse H₀ (car 0.96>k) mais par contre, au seuil de 1% on accepte l’hypothèse H₀ (car 0.96<h).
  Bien comprendre :
  Au seuil de 5%, on rejette H₀ et on se trompe dans moins de 5% des cas, c’est à dire que l’on rejette H₀ à tort dans moins de 5% des cas, mais si on ne veut se tromper que dans 1% des cas, on ne peut pas rejeter H₀ et donc on l’accepte...
  En fait, on peut dire que l’on rejette H₀ au seuil de 4% (i.e. on risque de se tromper en rejettant H₀ dans 4% des cas), car :
  0.96>normal_icdf(0,0.46,0.98)=0.944724498891 ou encore
  normal_cdf(0,0.46,0.96)=0.981553967548>0.98
• Exercice 3
  On a administré un somnifère A à 50 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 8h22 avec un écart-type de 0h24.
  On a administré un somnifère B à 100 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 7h15 avec un écart-type de 0h30.
  Ces deux somnifères ont-ils une efficacité signicativement différente ? de combien ?
  Réponse
  Soit X₁ la variable aléatoire égale au nombre de minutes de sommeil lorsque l’on a pris le somnifère A et soit X₂ la variable aléatoire égale au nombre de minutes de sommeil lorsque l’on a pris le somnifère B.
  On note X₁ (resp X₂) la variable aléatoire égale à la moyenne du nombre de minutes de sommeil pour des échantillons de taille 50 (resp 100) lorsque l’on a pris le somnifère A (resp le somnifère B).
  Au vu de l’échantillon d’effectif n₁=50, X₁ a comme moyenne m₁ de 8h22 soit de 502 minutes et comme écart-type σ₁.
  On a donc :
  m₁=8*60+22=502 et,
  σ₁ ≃ 24/√49.
  Au vu de l’échantillon d’effectif n₂=100, X₂ a comme moyenne m₂ de 7h15 soit de 435 minutes et comme écart-type σ₂.
  On a donc :
  m₂=7*60+15=435 et,
  σ₂≃ 30/√99.
  On en déduit que X₁−X₂ suit approximativement une loi normale N(µ , σ) avec comme écart-type :
  σ=√σ₁²+σ₂²=√24²/49+30²/99=4.56574321789≃ 4.566.
  On cherche un intervalle de confiance pour µ au seuil de 5% et au seuil de 1%. On sait que l’on a :
  Proba(|X₁−X₂| ≤ µ+1.96σ)=0.95
  Proba(|X₁−X₂| ≤ µ+2.58σ)=0.99
  X₁−X₂ a comme valeur m₁−m₂=67 donc,
  Proba(67−1.96*4.566 ≤ µ ≤ 67+1.96*4.566)=0.95 et,
  Proba(67−2.58*4.566 ≤ µ ≤ 67+2.58*4.566)=0.99
  On a donc :
  - Un intervalle de confiance pour µ au seuil de 5% est :
  l’intervalle [58;76] (car 58 ≃ 67−1.96*4.566 et 76 ≃ 67+1.96*4.566),
  - Un intervalle de confiance pour µ au seuil de 1% est :
  l’intervalle [55;79] (car 55 ≃ 67−2.58*4.566 et 79 ≃ 67+2.58*4.566).
  Avec Xcas on tape :
  normal_icdf(67,sqrt(24^2/49+30^2/99),0.975)
  On obtient :
  75.9486922697 ≃ 76
  On tape :
  normal_icdf(67,sqrt(24^2/49+30^2/99),0.025)
  On obtient :
  58.0513077303 ≃ 58
  On tape :
  normal_icdf(67,sqrt(24^2/49+30^2/99),0.995)
  On obtient :
  78.7605751731 ≃ 79
  On tape :
  normal_icdf(67,sqrt(24^2/49+30^2/99),0.005)
  On obtient :
  55.239424827 ≃ 55
  Donc :
  - µ est dans l’intervalle [58;76] avec un risque d’erreur de 5% et ,
  - µ est dans l’intervalle [55;79] avec un risque d’erreur de 1%.
  Le somnifère A allonge la durée du sommeil d’environ 67mn=1h07 par rapport au somnifère B, avec une incertidude de (76-58)/2=9mn (resp (79-55)/2=12mn) pour un seuil de 5% (resp 1%).
  Remarque : dans l’exercice précédent on a considéré deux groupes de patients indépendants. On aurait pu faire l’experience sur un même groupe (après un certain temps). On aurait eu affaire alors a des échantillons non indépendants mais appariés (pour un exemple voir l’exercice suivant).
• Exercice 4 : Échantillons appariés
  On a fait faire une double correction de 30 copies par deux examinateurs A et B afin de comparer leur notation. Les copies sont numerotées de 0 à 29.
  On a obtenu pour A :
  13,15,12,15,8,7,11,10,9,13,3,18,17,5,9,10,
  11,14,12,10,9,8,13,6,8,16,14,11,12,10
  On a obtenu pour B:
  12,13,12,15,7,5,12,10,8,13,4,17,16,4,9,11,10,
  13,13,9,10,7,14,8,7,15,13,10,13,10
  Réponse
  On tape :
  A:=[13,15,12,15,8,7,11,10,9,13,3,18,17,5,9,
  10,11,14,12,10,9,8,13,6,8,16,14,11,12,10]
  mean(A)
  On obtient :
  329/30≃ 10.9666666667
  On tape :
  stddev(A)
  On obtient :
  sqrt(10769/900) ≃ 3.45912641509
  On tape :
  B:=[12,17,11,16,7,7,10,10,8,13,1,18,16,4,8,
  10,10,14,11,10,8,8,12,6,7,16,13,11,12,9]
  On tape :
  mean(B)
  On obtient :
  21/2=10.5
  On tape :
  stddev(B)
  On obtient :
  sqrt(508/45) ≃ 3.35989417823
  Les deux examinateurs n’ont pas obtenus la même moyenne et la différence des moyennes entre l’examinateur A et l’examinateur B est m=0.3.
  On tape : A-B
  On obtient :
  [1,-2,1,-1,1,0,1,0,1,0,2,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,
  0,1,0,1,0,0,1] ou encore on définit le caractère différence D avec effectifs :
  D:=([-2,-1,0,1,2],[1,1,12,15,1])
  On tape :
  mean(A-B)
  ou mean(D)
  On obtient :
  m=7/15=0.466666666667
  On tape :
  stddev(A-B)
  ou stddev(D)
  On obtient :
  s=sqrt(131/225) ≃ 0.763034876151
  Rappel : Si au sein d’une production répartie selon une loi normale de moyenne µ et d’écart type σ, on prélève au hasard un échantillon de petite taille n, la variable aléatoire X qui à un échantillon de taille n fait correspondre la moyenne de cet échantillon suit une loi normale de moyenne µ et d’écart type σ/√n.
  Cette loi n’est pas connue car σ est inconnu. On ne peut pas estimer σ par s√n/n−1 (où s désigne l’écart type de l’échantillon) car n est petit et cela ne fournit pas une bonne estimation de σ.
  La variable T=√n−1(X-µ/S) (où S²=1/n∑₁ⁿ(X_j-X)² et X_j la variable aléatoire qui au j^ième tirage associe son résultat) suit une loi qui ne dépend pas de σ : cette loi est la loi de Student à n-1 degrés de liberté.
  On suppose que le caractère différence D est distribué selon une loi normale N(µ,σ(D)) (il faudrait le vérifié avec le test du χ²).
  On pose comme hypothèse H₀ :µ=0 et comme hypothèse alternative H₁: µ ≠ 0.
  On considère la variable T=√n−1(D-0/S), T a pour valeur :
  t=√n−1*m−0/s
  On tape :
  t:=sqrt(29)*7/15/sqrt(131/225) donc t≃=3.29352823645
  Au seuil de 5% et avec 29 degrées de liberté on lit dans la table de Student, la valeur critique h que t ne doit pas dépasser.
  On trouve h= 2.05.
  Ou bien on tape avec Xcas :
  h:=student_icdf(29,0.975)
  On obtient :
  h=2.04522964213 ≃ 2.05
  Puisque t=3.29352823645>h on conclut qu’au seuil de 5%, les 2 moyennes sont significativement différentes.

  Peut-on dire que D suit une loi normale N(0.5,1) ?
  On tape :
  e1:=30*normal_cdf(0.5,1,-infinity,-0.5)
  On trouve :
  4.75965761794
  On tape :
  e2:=30*normal_cdf(0.5,1,-0.5,0.5)
  On trouve :
  10.2403423821
  On tape :
  d2:=((e1-2)^2)/e1+((e2-12)^2)/e2+((e2-15)^2)/e2+
  ((e1-1)^2)/e1
  On trouve :
  7.084447157
  On a 4 classes donc 3 degrés de liberté, on tape :
  chisquare_icdf(3,0.95)=7.81472790325
  On a d2<7.81472790325 donc, au seuil de 5% on ne peut pas rejeter l’hypothèse que D suit une loi normale N(0.5,1)

4.6  Jet d’un dé et test du χ²

4.6.1  On jette un dé 90 fois

On a obtenu :
1 a été obtenu 11 fois,
2 a été obtenu 16 fois,
3 a été obtenu 17 fois,
4 a été obtenu 22 fois,
5 a été obtenu 14 fois,
6 a été obtenu 10 fois.
Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
Il y a 6 classes et le degré de liberté est égal à 5 puisque l’effectif de la dernière classe est imposé lorsque l’on a l’effectif des 5 premières. Pour chaque classe l’effectif théorique de l’échantillon est 90*1/6=15 (chaque face ayant une probabilité théorique égale à 1/6 de sortir si le dé est équilibré).
On calcule l’écart quadradique réduit, c’est la valeur de :
χ²=∑_j=1⁶ (X_j−90/6)²/90/6 pour l’échantillon considéré.
On obtient ici :
1/15((11−15)²+(16−15)²+(17−15)²+(22−15)²+(14−15)²+(10−15)²)=6.4
Dans une table du χ² on lit qu’au seuil 0.05 et pour un degré de liberté 5 la valeur limite de χ² est égale à 11.1.
Avec Xcas, on tape :
chisquare_icdf(5,0.95)
On obtient :
11.0704976935 ≃ 11.1.
Or on a 6.4<11,1, donc au seuil 0.05, on ne rejette pas l’hypothèse : "le dé est régulier" car si on dit que le dé n’est pas régulier on se trompe dans plus de 5% des cas.

4.6.2  On jette un dé 180 fois

On a obtenu :
1 a été obtenu 22 fois,
2 a été obtenu 32 fois,
3 a été obtenu 34 fois,
4 a été obtenu 44 fois,
5 a été obtenu 28 fois,
6 a été obtenu 20 fois.
Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
Par rapport à l’exercice précédent on a doublé le nombre de lancers et on a aussi doublé les effectifs de chaque classe.
On calcule l’écart quadradique réduit, c’est la valeur de :
χ²=∑_j=1⁶ (X_j−180/6)²/180/6 pour l’échantillon considéré.
On obtient ici :
2/15((11−15)²+(16−15)²+(17−15)²+(22−15)²+(14−15)²+(10−15)²)=2*6.4=12.8
Dans une table du χ² on lit qu’au seuil 0.05 et pour un degré de liberté 5 la valeur limite de χ² est 11.1.
Avec Xcas, on tape :
chisquare_icdf(5,0.95)
On obtient :
11.0704976935.
Or on a 12.8>11,1, donc on rejette l’hypothèse : "le dé est régulier" au seuil de 5% ce qui veut dire "le dé n’est pas régulier" dans plus de 95% des cas.

4.6.3  Intervalle de confiance

Donner un intervalle de confiance du nombre d’apparitions de la face 4, au seuil de 5% lorsqu’on lance le dé 90 fois de suite.
On pose n=90 et p=1/6.
On considère la variable aléatoire X égale au nombre de fois que le 4 est obtenu. X suit une loi binomiale B(90,1/6), de moyenne µ=90*1/6=15 et d’écart-type σ=√npq=√91*1/6*5/6=√12.5=3.53553390593.
En effet, on obtient un 4 avec la probabilité théorique de p=1/6 et on obtient une face différente de 4 avec la probabilité théorique de q=5/6.
On sait, d’apres la loi binomiale, que dans un échantillon d’effectif n, on a une probabilité de C_n^kp^kq^n−k d’avoir k apparitions d’un caractère de probabilité p (ici le caractère est d’obtenir un 4 et, on a p=1/6, q=5/6 et n=90).
On peut approcher la loi binomiale par la loi normale de même moyenne et de même écart-type car n>30 et on a :
µ=np=15 et σ=√npq=√12.5
Prob(|X−µ|/σ<1.96)=0.95 donc
Prob(µ−1.96σ<X<µ+1.96σ)=0.95 donc
Prob(8.07035354438<X<21.9296464556)=0.95
Avec Xcas on tape :
normal_icdf(15,sqrt(12.5),0.975)
On obtient : 21.9295191217
normal_icdf(15,sqrt(12.5),0.025)
On obtient : 8.07048087825
Donc si n=90, l’effectif des différentes classes (en particulier l’effectif de la classe 4) devraient être dans l’intervalle [8;22], au seuil de 0.05 c’est à dire avec un risque d’erreur de 5%.
Remarque
De même si n=180 µ=30 et σ=√180*5/36=5 donc :
Prob(20.2=30−1.96*5<k<30+1.96*5=39.8)=0.95
Avec Xcas on tape :
normal_icdf(30,5,0.975)
On obtient : 39.7998199227
normal_icdf(30,5,0.025)
On obtient : 20.2001800773
Donc si n=180, les effectifs des différentes classes sont dans l’intervalle [20;40], au seuil de 0.05 c’est à dire avec un risque d’erreur de 5%.

4.7  Simulation de la loi uniforme sur [0;1]

Si X suit une loi uniforme sur [0;1], X a pour espérance 1/2 et pour écart-type √1/12 ≃ 0.288675134595.
En effet :
E(X)=∫₀¹xdx=1/2 et
E(X²)=∫₀¹x²dx=1/3 et donc
σ(X)=√1/3−(1/2)²=√1/12
Dans Xcas la fonction rand() renvoie, de façon équirṕartie, un nombre aléatoire entre 0 et 2³² et rand(0,1) ou rand(0..1)() renvoie, de façon équirṕartie, un nombre aléatoire entre 0 et 1 : on remarquera que r:=rand(0..1) définit une fonction r et que r() renvoie alors de façon équirṕartie, un nombre aléatoire entre 0 et 1.
Exercice :
Simuler dans la colonne A du tableur, le tirage de 100 nombres aléatoires.
Calculer la moyenne dans A100 et l’écart type dans A101 de la série obtenue.
Refaire la même chose dans les colonnes B, C, D, E.
Refaire la même chose avec les 100 lignes ainsi crées.
Comparer avec les valeurs théoriques.
Réponse :
De 0 à 99 et sur 5 colonnes les cellules sont remplies aléatoirement : les cellules A0:E99 contiennent rand(0,1).
La ligne 100 (A100:E100) contient les moyennes des lignes de 0 à 99 pour chacune des colonnes A..E.
La ligne 101 (A101:E101) contient les écarts-types des lignes de 0 à 99 pour chacune des colonnes A..E.
La colonne F (F0:F99) va servir à faire la moyenne des colonnes de A à E pour chacune des lignes de 0 à 99.
La colonne G (G0:G99) va servir à mettre les écarts-types des colonnes de A à E pour chacune des lignes de 0 à 99.
On remplit ensuite F100, F101, G100, G101 :
F100=[mean(A100:E100),mean(F0:F99),mean(A0:E99)], F100 est la moyenne de la ligne 100 (moyenne des moyennes de 5 échantillons d’effectif 100), suivi de la moyenne de la colonne F (moyenne des moyennes de 100 échantillons d’effectif 5), suivi de la moyenne totale (moyenne d’un échantillon d’effectif 500). Évidemment ces 3 moyennes sont les mêmes !
F101=[mean(A101:E101),stddev(F0:F99)]
F101est la moyenne de la ligne 101 (moyenne des écarts-types de 5 échantillons d’effectif 100) suivi de l’écart-type de la colonne F (écart-type des moyennes de 100 échantillons d’effectif 5).
G100=[stddev(A100:E100),mean(G0:G99)]
G100 l’écart-type de la ligne 100 (écart-type des moyennes de 5 échantillons d’effectif 100) suivi de la moyenne de la colonne G (moyenne des l’écarts-types de 100 échantillons d’effectif 5).
G101=[stddev(A101:E101),stddev(G0:G99),stddev(A0:E99)]
G101 est l’écart-type de la ligne 101 (l’écart-type des l’écarts-types de 5 échantillons d’effectif 100), suivi de l’écart-type de la colonne G (l’écart-type des l’écarts-types de 100 échantillons d’effectif 5), suivi de l’écart-type total (l’écart-type d’un échantillon d’effectif 500).

Pour n=500, on trouve par exemple :
m=mean(A0:E99)=0.484342422505 et
s=stddev(A0:E99)=0.285946471987
Ici, on est parti d’une loi connue : la loi uniforme sur [0;1] de moyenne µ=0.5 et d’écart-type σ=√1/12 ≃ 0.288675134595.
Dans la pratique on ne connait ni µ ni σ.
D’après la théorie, si on considère tous les échantillons de taille n, la variable aléatoire :
X=(X₁+...+X_n)/n suit approximativement une loi normale N(µ,σ/√n) lorsque n est grand et la variable aléatoire :
S²=(X₁−X)²+...+(X_n−X)²/n a pour moyenne n−1/nσ²
Pour la loi uniforme on a :
la moyenne de la série des moyennes des échantillons de taille n est égale à 0.5 ,
l’écart-type de la série des moyennes des échantillons de taille n est √1/12 n,
la moyenne de la série des écarts-types des échantillons de taille n est √n−1/12 n,
l’écart-type σ(S²) de la série des écarts-types des échantillons de taille n est plus petit que K/√n où K est une constante qui ne dépend que de la loi.
Au vu d’un échantillon d’effectif 500 (n=500), de moyenne m, et d’écart-type s, on convient de dire que la moyenne empirique :
m=mean((A0):(E99))=0.484342422505 (m est la valeur observée de X) est l’approximation de la moyenne µ et que l’écart-type empirique :
s=stddev(A0:E99)=0.285946471987 (s² est la valeur observée de S²) est l’approximation de la moyenne de la série des écarts-types des échantillons de taille n=500 et on a :
√E(S²)=√499/500 ≃ s.
Lorsque l’on ne connait pas σ on en calcule une valeur approchée à partir de l’écart type d’un échantillon de grande taille ici 500 :
on a : s=0.285946471987
On calcule la valeur théorique estimée :
σ−est=s*√n/(n−1)
On tape et on obtient :
=0.285946471987*sqrt500/499=0.286232848095
au lieu de σ=0.288386314978
De plus la théorie nous dit que la distribution des moyennes des échantillons d’effectif 500 suit sensiblement une loi normale de moyenne µ et d’écart-type :
σ/√500≃s/√499 =0.0128007221147.
Ceci nous permet de dire qu’au seuil de 5%, on a :
|m−µ|<1.96*0.0127879149858=0.0250894153448 soit :
0.45925300716=m−s/√499<µ<m+s/√499=0.50943183785.
D’où un intervalle de confiance au seuil de 5% pour µ de :
[0.4592;0.5095].
Voici les résultats des lignes 100 et 101 :
- ligne 100 est la valeur de la moyenne de 5 échantillons d’effectif 100, on trouve :
0.466489640726, 0.487896819143, 0.499799806252,
0.453281438346, 0.514244408058.
Ces 5 moyennes ont pour moyenne la moyenne totale:
mean(A100:E100) =m =0.484342422505
et ces 5 moyennes ont pour écart-type :
stddev(A100:E100)=0.022041777341 ≃ σ/√100
- ligne 101 est la valeur de l’écart-type de 5 échantillons d’effectif 100, on trouve :
0.264640095911, 0.302416108249, 0.299622396086,
0.276154743049, 0.280843050885
ces 5 écarts-types ont pour moyenne :
mean(A101:E101) =0.284735278836
valeur approchée de √99/100≃0.287228132327
et pour écart-type :
stddev(A101:E101)=0.0143305924398.
Dans la colonne F on fait la moyenne des lignes ce qui correspond à 100 échantillons de 5 tirages (n=5).
Ces 100 moyennes ont pour moyenne la moyenne totale :
mean(F0:F99)=0.484342422505
et es 100 moyennes ont pour écart-type :
stddev(F0:F99)=0.112665383246
valeur approchée de σ/√5 ≃ 0.129099444874.
Dans la colonne G on fait l’écart-type des lignes ce qui correspond à 100 échantillons de 5 tirages (n=5).
Ces 100 écarts-types ont pour moyenne :
mean(G0:G99)=0.252572046948
valeur approchée de √4/ 5 ≃ 0.258198889747
et pour écart-type :
stddev(G0:G99)=0.0726584981978
Observations :
- Comment évoluent les moyennes :
les valeurs de la ligne 100 des moyennes de chaque colonne A..F c’est à dire la moyenne de 100 observations est assez proche de la valeur attendue 0.5, alors que la colonne F moyenne des lignes c’est à dire de 5 observations est loin de la valeur attendue 0.5. On voit bien que l’écart-type des moyennes d’un échantillon de taille n dépend de n et que plus n est grand plus cet écart-type diminue. Les écarts-types de ces 2 séries ne sont donc pas les mêmes : d’après la théorie, l’écart-type des moyennes d’un échantillon de taille n est :
σ/√n si σ est l’écart-type de la population toute entière qui est pour la loi uniforme de : √1/12=0.288675134595.
De façon expérimentale on a :
- écart type des 5 moyennes correspondant à 5 échantillons de taille 100 :
0.022041777341
On calcule la valeur théorique :
sqrt(1/12)/10=0.0288675134595
- écart type des 100 moyennes correspondant à 100 échantillons de taille 5 :
0.112665383246
On calcule la valeur théorique :
sqrt(1/12)/sqrt(5)=0.129099444874
- Comment évoluent les écarts-types :
d’après la théorie, la moyenne des écarts-types d’un échantillon de taille n est :
√n−1/n si σ est l’écart-type de la population toute entière qui est pour la loi uniforme de : √1/12=0.288675134595.
De façon expérimentale on a :
- moyenne des 5 écarts-types correspondant à 5 échantillons de taille 100 :
0.284735278836
On calcule la valeur théorique :
sqrt(1/12)*sqrt(99/100)=0.298337151271
- moyenne des 100 écarts-types correspondant à 100 échantillons de taille 5 :
0.252572046948
On calcule la valeur théorique :
sqrt(1/12)*sqrt(4/5)=0.258198889747
Lorsque l’on ne connait pas σ on en calcule une valeur approchée à partir de l’écart type d’un échantillon de grande taille ici 500 :
on a : s=0.285946471987
La valeur théorique estimée σ est de σ :
σ est=s*√n/(n−1)
On tape :
0.285946471987*sqrt(500/499)
On obtient :
0.286232848095 (au lieu de σ=0.288386314978
Quant aux écarts-types des écarts-types des échantillons de taille n, on voit qu’il sont d’autant plus petit que n est grand : c’est pourquoi on peut approcher l’écart type par l’écart-type d’un seul échantillon de grande taille.