Calcul du polynôme minimal (méthode probabiliste)

La plupart du temps, on peut trouver le polynôme minimal en faisant moins de calcul. L'idée consiste à prendre un vecteur aléatoire v, et chercher une relation entre v, Av, ..., Aⁿv en utilisant toujours la méthode de Gauss préservant l'ordre des lignes. On trouve alors un polynôme minimal P relatif à v, c'est-à-dire que P(A)v = 0. Il y a deux cas :

• le degré de P est n, dans ce cas on montre (exercice à faire par exemple en TD) que P est à la fois le polynôme caractéristique et le polynôme minimal (en particulier cette méthode permet de trouver efficacement le polynôme caractéristique de ``presque'' toutes les matrices)
• le degré est strictement inférieur à n, on essaie alors un autre vecteur aléatoire. On prend le PPCM des polynômes obtenus. Si le degré du PPCM est n, alors on a le polynôme minimal et caractéristique. S'il reste de degré plus petit que n, on réessaie encore un ou 2 vecteurs. Si le degré est identique (et strictement inférieur à n) pour 2 vecteurs de suite, on teste si P(A) = 0.

Exercice 2 (à rendre à la fin du TP5)
Donnez les détails des calculs par cette méthode pour les matrices de l'exercice 1. Justifiez l'intérêt de cette méthode sur cet exemple.