Recherche de vecteurs propres

On suppose que le polynôme minimal P_A est sans facteur carré (square-free) ce qui se vérifie en cherchant le pgcd de P_A avec sa dérivée (sinon A n'est pas diagonalisable). À l'aide du polynôme minimal, il est facile de déterminer les vecteurs propres de A correspondant aux racines de P_A que l'on sait déterminer car si P_A(X) = (X - $\lambda_{1}^{}$)×Q(X) on a :

Im Q(A) = Ker (A - $$\lambda_{1}^{}$$I)

En effet puisque (A - $\lambda_{1}^{}$I)×Q(A) = P_A(A) = 0 on a  :

Im Q(A) $$\subset$$ Ker (A - $$\lambda_{1}^{}$$I)

(X - $\lambda_{1}^{}$) et Q(X) sont premiers entre eux car P_A est sans facteur carré donc d'après Bézout, il existe deux polynômes U et V tels que :

U(X)×(X - $$\lambda_{1}^{}$$) + Q(X)×V(X) = 1

on a donc :

U(A)×(A - $$\lambda_{1}^{}$$I) + Q(A)×V(A) = I

Si x $\in$ Ker (A - $\lambda_{1}^{}$I), alors

U(A)×(A - $$\lambda_{1}^{}$$I)x + Q(A)×V(A)x = x

donc :

Q(A)(V(A)x) = x

d'où :

Im Q(A) $$\supset$$ Ker (A - $$\lambda_{1}^{}$$I)

Lorsque le polynôme minimal n'est pas square-free, l'identité de Bézout donne les projecteurs sur les espaces caractéristiques (Q(A) envoie Kⁿ sur Ker (A - $\lambda_{1}^{}$I)^p₁ lorsque $\lambda_{1}^{}$ est d'ordre p₁).

Exercice 3 (à rendre au début du TP6)
Trouver une base de vecteurs propres de la matrice B de l'exercice 1 en utilisant la méthode ci-dessus.