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Dualité tangent-cotangent.

  Par définition de df on a dxf(v)=v(f) qui définit la dualité entre TM et T*M. Graphiquement (cf. figure 3, p. gif), on obtient la base duale de tex2html_wrap_inline4519 de la façon suivante: on construit le réseau de base tex2html_wrap_inline4519 , on prend les deux formes linéaires tex2html_wrap_inline4523 dont les lignes de niveau entières sont le réseau.

   figure793
Figure: Une base de vecteurs et sa base duale.

En général, il n'y a pas d'isomorphisme canonique entre TX et T*X. Il est nécessaire de disposer d'une donnée supplémentaire qui est une forme bilinéaire non dégénérée sur TxX (par exemple une forme symétrique dans le cas des variétés riemanniennes ou une forme antisymétrique pour une variété symplectique).

On a vu que si tex2html_wrap_inline4531 , on peut définir tex2html_wrap_inline4533 . Par dualité, on peut définir tex2html_wrap_inline4535 : si tex2html_wrap_inline4537 , on pose

displaymath4507

On vérifie que tex2html_wrap_inline4539 et tex2html_wrap_inline4541 sont bien duales l'une de l'autre: si tex2html_wrap_inline4543 ,

  equation821

Mais il n'est pas possible de définir une application tex2html_wrap_inline4545 en général car si tex2html_wrap_inline4547 , on ne sait pas s'il admet un antécédent unique par tex2html_wrap_inline4549 . Lorsque tex2html_wrap_inline4549 est injective, on peut définir tex2html_wrap_inline4553 sur

displaymath4508



Bernard Parisse
Tue Mar 25 10:25:51 MET 1997