Conormal à une sous-variété.

  On a vu que si M est une sous-variété de N, alors TM est de façon naturelle une sous-variété de TN. Par contre il n'existe pas de façon naturelle de voir T^*M comme une sous-variété de T^*N.

Pour les espaces cotangents, on définit le conormal T^*_MN de M, qui est naturellement une sous-variété de T^*N. Point par point, on prend l'orthogonal pour la dualité tangent-cotangent de T_mM vu comme sous-espace de T_mN:

Dans la représentation graphique de la figure 2, p. , on prend l'ensemble des formes dont la ligne de niveau 0 contient T_mM, vu comme un sous-espace vectoriel de T_mN.

Si on prend une carte locale x sur N telle que M ait pour équations locales x₁=...=x_k=0 (dimM=n-k), alors si et seulement si:

• ,
• pour i>k.

Donc:

On en déduit que T^*_MN est une sous-variété de T^*N de dimension n-k+k=n=dimN.