Soient 
et 
fixés, on peut alors choisir
(assez petit) tel que le potentiel W<0 défini par:
soit réel analytique
(sauf aux points (x,y)=(0,0) mod 
). Le potentiel W est
périodique en x et en y de période , le minimum sur une
cellule de périodicité est atteint en l'unique point (0,0)
modulo . Nous allons voir que les horizontales, verticales
reliant deux puits ne peuvent être des géodésiques minimales
pour la distance d'Agmon lorsque 
et 
sont assez
petits. Pour cela, on calcule la longueur d'Agmon des horizontales et
verticales lorsque 
. Ces deux longueurs sont
égales et valent:
La longueur d'Agmon
de la diagonale reliant (0,0) à 
vaut:
et est
donc inférieure à la longueur des horizontales et verticales.
Nous en déduisons que la géodésique minimale d'Agmon entre les
puits les plus proches n'est pas une horizontale ni une verticale pour
et assez petits.
D'autre part, si on fait le développement de Taylor de W à l'ordre 2,
on voit que W''(0) est une matrice diagonale dont les coefficients
diagonaux sont distincts sauf sur une courbe
de l'espace des paramètres 
.
En dehors de cette courbe, une diagonale ne peut donc pas être une
géodésique minimale (la tangente en un puits d'une géodésique est
alors soit une horizontale soit une verticale).
Donc la géodésique minimale n'est ni une horizontale,
ni une verticale ni une diagonale, elle n'est donc pas rectiligne.