Factorisation dans $\mathbb {R}$

Pour factoriser un polynôme à coefficients réels, on commence par le factoriser dans $\mathbb {C}$. On observe ensuite que si r est une racine complexe non réelle de P, alors son conjugué l'est aussi (il suffit de prendre le conjugue de la relation P(r) = 0) et avec la même multiplicité (les dérivées successives de P étant aussi à coefficients réels). On regroupe alors les facteurs correspondant à des racines complexes conjuguées :

(X - r)(X - $$\overline{{r}}$$) = X² - (r + $$\overline{{r}}$$)X + r$$\overline{{r}}$$ = X² -2$$\Re$$(r)X + | r|²

Finalement, on a le :

Théorème 11   La factorisation d'un polynôme à coefficients réels sur $\mathbb {R}$ donne un produit de facteurs de degré 1 (correspondant à des racines réelles) et de degré 2 (correspondant à des paires de racines complexes conjuguées)

Il existe un algorithme utilisant l'algorithme de calcul du PGCD de P et P' qui permet de déterminer le nombre de racines réelles d'un polynôme P sans racine multiple sur $\mathbb {R}$ ou dans un intervalle de R.

Théorème 12   On définit la suite de polynômes A₀ = P, A₁ = P',..., A_k, 0 en prenant l'opposé du reste de la division euclidienne des deux précdents :

A_i = A_i+1Q_i+2 - A_i+2 (5)

Soit A_k, le dernier reste non nul, c'est un polynôme constant puisque P n'a pas de racine multiple. On définit s(a) comme étant le nombre de changements de signes de la suite A_i(a) en ignorant les 0. Alors le nombre de racines réelles de A₀ = P sur l'intervalle ]a, b] est égal à s(a) - s(b).

Exemple :
Quel est le nombre de racines réelles de P = x³ + x + 1 sur [- 2, 2]? sur [0, 2]?
On a donc

A₀ = x³ + x + 1,    A₁ = P' = 3x² +1,    A₂ = - rem(A₀, A₁, x) = - $${\frac{{2}}{{3}}}$$x - 1,    A₃ = - $${\frac{{31}}{{4}}}$$

En x = - 2 on obtient la suite -9, 13, 1/3, - 31/4 (2 changements de signe), en x = 2 on obtient la suite 11, 13, - 7/3, - 31/4 (1 changement de signe), il y a donc 1 racine réelle entre -2 et 2. En x = 0 on obtient la suite 1, 1, - 1, - 31/4 (1 changement de signe) donc la racine réelle est entre -2 et 0.

Preuve
On considére la suite des signes en un point : elle ne peut contenir deux 0 successifs (sinon toute la suite vaudrait 0 en ce point en appliquant (5), or A_k est constant non nul). Elle ne peut pas non plus contenir ...,+,0,+,... ni ...,-,0,-,... à cause de la convention de signe sur les restes de (5). Donc si b est une racine de A_i pour 0 < i < k, alors en b on a soit ...,-,0,+,... soit ...,+,0,-,... . Regardons le premier cas (le deuxième cas se traite de manière analogue), pour x proche de b, on va avoir ...,-,-,+,... ou ...,-,+,+,... dans les 2 cas la contribution au nombre de changements de signe est constant (égal à 1).

Comme A_k est constant, seules les racines de A₀ = P sont susceptibles de faire varier s. Comme A₁ = P', le sens de variations de A₀ au voisinage d'une racine de A₀ est déterminé par le signe de A₁, donc lorsque x augmente en traversant une racine r de P, il y a deux possibilités soit P est croissant et on passe de -,+,... à +,+,..., soit P est décroissant et on passe +,-,... à -,-,.... Dans les deux cas, on diminue s d'une unité.

Application :
Si il n'existe pas de racines réelles dans un intervalle donné, alors le polynôme garde un signe constant sur cet intervalle, que l'on peut déterminer en calculant la valeur du polynôme en un point de cet intervalle. On peut ainsi établir dans certains cas que la méthode de Newton pour trouver une racine d'un polynôme convergera.

Par exemple pour le polynôme P = 3x⁵ -10x³ +30x² - x - 45, on a P'' = 60(x³ - x + 1), est positif sur $\mathbb {R}$⁺ (exercice : calculer la suite de Sturm correspondante pour le vérifier). On vérifie que P(1) < 0 et P'(1) > 0 donc il existe une racine r > 1 telle que P'(r) > 0, toute valeur de départ de Newton supérieure à r assure la convergence.

Remarque :
On peut aussi déterminer les racines réelles d'un polynôme à coefficients rationnels en faisant uniquement des calculs exacts par dichotomie. Cette méthode de localisation des racines réelles se généralise d'ailleurs au cas complexe. On peut ainsi déterminer les racines complexes d'un polynôme à coefficients complexes rationnels de manière déterministe à la précision voulue (cf. Eisermann).