Activités de recherche

Durant ces dernières années, mon activité de recherche s'est développée principalement dans deux directions : l'étude mathématique des équations de la mécanique des fluides, et la dynamique des ondes non linéaires dans les systèmes de réaction-diffusion ou les équations dispersives.

I. Mécanique des fluides

Mon activité dans ce domaine s'est développée avant tout dans le cadre d'une longue collaboration avec C.E. Wayne (Boston), qui a démarré en été 2000. Nos premiers travaux sont consacrés au comportement asymptotique en temps des solutions des équations de Navier-Stokes incompressibles dans R² (ici) ou R³ (là). L'originalité de notre approche consiste à étudier l'équation pour le tourbillon associé au champ de vitesse du fluide, dans des variables autosimilaires. En supposant que ce tourbillon décroît suffisamment vite à l'infini (en espace), nous contruisons au voisinage de la solution nulle des variétés invariantes de dimension ou de codimension finie, qui permettent de décrire précisément le comportement asymptotique en temps de toutes les petites solutions. Ceci nous permet, par exemple, de caractériser l'ensemble des solutions qui convergent vers zéro plus vite que t ^-(n+2)/4 en norme d'énergie, et de revisiter ainsi de façon originale des résultats de T. Miyakawa et M.E. Schonbek.  Plus généralement, ces travaux (et ceux qui les ont suivis) illustrent l'intérêt et la puissance des méthodes de type ``systèmes dynamiques'' dans l'étude mathématique des équations de la mécanique des fluides.

Dans le cas bidimensionel, les résultats locaux obtenus précédemment ont été généralisés à toutes les solutions de l'équation de Navier-Stokes (ici). Sous la seule hypothèse que le tourbillon initial est intégrable dans le plan, nous montrons en effet que la solution de l'équation converge lorsque t tend vers l'infini vers une solution autosimilaire explicite, appelée tourbillon d'Oseen. Ce résultat assez frappant est obtenu par une étude détaillée de l'équation du tourbillon en variables autosimilaires. Notre contribution principale est la découverte d'une nouvelle fonction de Lyapunov du système : l'entropie relative de la distribution de vorticité par rapport à la distribution gaussienne du tourbillon d'Oseen. Judicieusement utilisée, cette fonction de Lyapunov permet d'éliminer complètement les hypothèses de petitesse limitant la portée des travaux de nos prédécesseurs (Y. Giga et T. Kambe 1988, A. Carpio 1994). Le résultat obtenu a d'importantes conséquences : il implique par exemple que les tourbillons d'Oseen sont les seules solutions autosimilaires de l'équation de Navier-Stokes dont la vorticité est intégrable, et que ces solutions sont stables pour toutes les valeurs du nombre de Reynolds de circulation. Par ailleurs, en étudiant l'opérateur linéarisé dans des espaces à poids, nous obtenons également des estimations précises de la vitesse de convergence vers le tourbillon d'Oseen, sous des hypothèses appropriées sur le tourbillon initial.

Pour une présentation plus détaillée des résultats décrits jusqu'ici : cliquer ici.

Il est bien connu que, dans les équations aux dérivées partielles possédant une invariance d'échelle, le comportement asymptotique en temps des solutions (et en particulier leur convergence vers des solutions autosimilaires) est lié au caractère bien posé du problème de Cauchy dans des espaces de fonctions peu régulières. Dans le cas de l'équation de Navier-Stokes dans le plan, l'espace naturel (invariant d'échelle) pour le tourbillon est l'espace des mesures finies sur R². L'existence de solutions dans ce cadre a été démontrée par G.-H. Cottet (1986), Y. Giga, T. Miyakawa et H. Osada (1988), ainsi que par T. Kato (1994). L'unicité, en revanche, n'était connue que pour des données initiales dont la partie atomique est suffisamment petite devant la viscosité. Or un sous-produit de nos résultats est l'unicité de la solution lorsque le tourbillon initial est une masse de Dirac, quelle que soit son amplitude (la solution en question est précisément le tourbillon d'Oseen). Dans un article en collaboration avec I. Gallagher (Paris 7), nous étendons ce résultat d'unicité au cas d'une mesure finie quelconque, et montrons donc que l'équation du tourbillon dans R² est globalement bien posée dans l'espace des mesures finies (ici). Ce travail répond à une question ouverte depuis 18 ans, et constitue le premier résultat d'unicité à grandes données (pour l'équation de Navier-Stokes) dans un espace suffisamment grand pour contenir les données initiales de certaines solutions autosimilaires. Une démonstration alternative de l'unicité lorsque la donnée initiale est une masse de Dirac, basée sur des techniques de réarrangements symétriques, a été obtenue en collaboration avec I. Gallagher et P.-L. Lions (ici).

Une généralisation tridimensionnelle de ces travaux est l'étude de l'existence et de la stabilité des tourbillons de Burgers, qui interviennent fréquemment dans la modélisation des structures dissipatives en turbulence développée. Les tourbillons de Burgers sont des solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes incompressibles dans R³ en présence d'un ``champ d'étirement''. Ces solutions sont données par une formule explicite seulement dans le cas o\`u le champ d'étirement est à symétrie cylindrique. L'existence de telles solutions dans le cas général a été établie formellement par Moffatt, Kida et Ohkitani (1994) et leur stabilité étudiée numériquement par Prochazka et Pullin (1995). Nous montrons rigoureusement l'existence de tourbillons de Burgers dans le cas faiblement asymétrique, pour toutes les valeurs du nombre de Reynolds de circulation, ainsi que leur stabilité vis-à-vis de perturbations bidimensionnelles (ici). D'autre part, lorsque le nombre de Reynolds est suffisamment petit, nous montrons que la famille des tourbillons de Burgers asymétriques est ``asymptotiquement stable avec déphasage'' pour des perturbations tridimensionnelles dans un espace approprié (ici). Ces résultats constituent probablement les premiers travaux entièrement rigoureux consacrés à la stabilité des structures dissipatives en turbulence tridimensionnelle.

Des variantes et des extensions des résultats ci-dessus ont également été obtenues par mes étudiants dans le cadre de leur travail de thèse. Ainsi, Violaine Roussier (qui a soutenu sa thèse en décembre 2003) a étudié le comportement asymptotique en temps des solutions de l'équation de Navier-Stokes dans un domaine compris entre deux plaques planes infiniment étendues, et obtenu dans ce cadre des résultats comparables à ceux décrits ci-dessus. Luis Miguel Rodriguès (qui a commencé sa thèse en 2004) travaille actuellement sur la stabilité des tourbillons d'Oseen dans les fluides incompressibles à densité variable.


II. Dynamique des ondes non linéaires

Mon activité dans ce domaine est bien plus ancienne, et remonte à mon travail de thèse (1994). Elle s'est poursuivie durant la période 2003-2006 notamment dans le cadre d'une ACI ``jeunes chercheurs'' du MENRT coordonnée par M. Haragus (Besançon). Voici un bref aperçu des recherches effectuées et des travaux en cours :

1) Stabilité des fronts modulés dans les équations de réaction-diffusion.
Dans une série d'articles récents, B. Sandstede et A. Scheel ont étudié, dans le cadre des sytèmes de réaction-diffusion, la persistance de solutions de type ``fronts'' en présence d'une instabilité dite "essentielle". Une telle instabilité se produit lorsque l'état stationnaire à l'avant ou à l'arrière du front devient essentiellement instable, dans le sens où une partie du spectre essentiel de l'opérateur linéarisé franchit l'axe imaginaire dans le plan complexe. Après bifurcation, le front n'est plus une solution stationnaire mais une solution périodique en temps dans un référentiel en translation uniforme.  Dans un article en collaboration avec G. Schneider (Stuttgart) et H. Uecker (Karlsruhe), nous montrons (sur un exemple représentatif) que si le front était stable avant la bifurcation, alors le front modulé construit par Sandstede et Scheel reste stable en un sens que nous précisons (ici). La démonstration est très technique et repose sur des estimations spectrales dans des espaces à poids combinées avec une méthode de ``renormalisation'' qui permet de contrôler les perturbations à l'arrière du front. Appliqué à des systèmes issus de l'optique non linéaire, ce résultat indique qu'il est possible de transporter de l'information (sous forme numérisée) même en présence d'instabilités essentielles dans le milieu
de propagation.

2) Stabilité des ondes progressives périodiques dans l'équation de Schrödinger non linéaire.
L'équation de Schrödinger non linéaire cubique à une dimension possède une famille à six paramètres de solutions quasi-périodiques de la forme u(x,t) = e^{i(kx - pt)} V(x - ct), où le profil V est une fonction périodique de son argument.  Aux symétries près, ces ondes progressives peuvent être caractérisées par deux quantités réelles : la période du module du profil, et la variation de la phase de l'onde sur une période du module (exposant de Floquet). Dans un travail en commun avec M. Haragus (ici), nous montrons que la famille des ondes progressives périodiques de l'équation de Schrödinger défocalisante est orbitalement stable dans la classe des solutions ayant même période et même exposant de Floquet que l'onde initiale. La démonstration repose sur l'approche classique de la stabilité orbitale développée par Grillakis, Shatah et Strauss, et nécessite une analyse détaillée du système dynamique hamiltonien vérifié par le profil de l'onde. Le résultat s'applique également aux ondes progressives de l'équation focalisante, sous une condition de non-dégénérescence que nous vérifions analytiquement pour les ondes de petite amplitude et numériquement dans le cas général. Par ailleurs, nous montrons également (là) que les ondes progressives périodiques de petite amplitude sont spectralement stables (sans hypothèse de périodicité sur les perturbations) dans le cas défocalisant, et instables dans le cas focalisant. La démonstration consiste à étudier le spectre de Bloch de l'opérateur différentiel à coefficients périodiques obtenu en linéarisant l'équation autour de l'onde progressive, ce que nous ne savons faire pour l'instant que perturbativement, en supposant que l'onde en question est de petite amplitude. De façon générale, la stabilité non linéaire des ondes progressives périodiques vis-à-vis de perturbations ne respectant pas la périodicité de l'onde est un problème ouvert, non seulement pour l'équation de Schrödinger mais pour toutes les équations dispersives non linéaires.

3) Convergence vers des ondes progressives dans les systèmes formellement gradients. 
L'existence et la stabilité locale des ondes progressives dans les systèmes de réaction-diffusion ont fait l'objet de très nombreux travaux. En revanche, on ne connaît que très peu de résultats de convergence globale, sauf lorsque le système en question admet un principe de comparaison (principe du maximum). Cette question a connu récemment une avancée significative grâce aux travaux d'Emmanuel Risler (INSA Lyon), qui a montré que l'on pouvait obtenir des résultats de stabilité globale pour des ondes progressives bistables sans hypothèse de monotonicité, en utilisant uniquement des estimations d'énergie appropriées.  Dans un premier article (ici), nous étudions une équation parabolique scalaire avec non-linéarité bistable et nous montrons comment la méthode de Risler permet de retrouver, de façon purement variationnelle, les résultats obtenus il y a une trentaine d'années par P. Fife et J.B. McLeod (qui utilisaient, eux, le principe du maximum). Il s'agit donc d'une contribution de nature pédagogique, destinée essentiellement à rendre plus accessibles les techniques (assez compliquées) de Risler en les mettant en oeuvre dans un cas relativement simple. Dans un travail en cours de rédaction avec Romain Joly, nous illustrons la puissance de ces méthodes en étudiant un problème réellement nouveau, celui de l'équation hyperbolique amortie a u_tt + u_t = u_xx - V'(u), qui ne possède pas de principe du maximum si le paramètre d'inertie a est suffisamment grand. Sous des hypothèses appropriées sur le potentiel V, nous montrons que, pour une grande classe de données initiales caractérisées par leur comportement à l'infini en espace, la solution converge asymptotiquement en temps vers une onde progressive, et que la convergence est exponentielle.

4) Comportement à grands temps des solutions de l'équation de Hamilton-Jacobi.
L'étude du comportement asymptotique en temps des solutions positives de l'équation de Hamilton-Jacobi visqueuse  révèle une compétition entre la diffusion (linéaire) et le terme de transport (non linéaire). Lorsque l'exposant q dans le terme non linéaire excède la valeur critique q_c = (N+2)/(N+1), où N est la dimension de l'espace, la diffusion l'emporte et les solutions ressemblent pour les grands temps à celles de l'équation de la chaleur. A l'inverse, si q < q_c la non-linéarité domine et accélère la décroissance temporelle des solutions. Celles-ci peuvent même s'éteindre en temps fini si 0 < q < 1 et si les données initiales sont à support compact. Dans un travail en commun avec Ph. Laurençot (ici), nous étudions en détail le cas critique q = q_c où le comportement asymptotique des solutions est le plus délicat à établir. En écrivant le système en variables autosimilaires et en construisant une variété centrale, nous montrons que les solutions issues de données initiales bornées et bien localisées en espace décroissent comme t^(-N/2)  log(t)^(-N-1) lorsque t tendvers l'infini, et que leur profil converge asymptotiquement vers la solution fondamentale de l'équation de la chaleur, avec un préfacteur indépendant des données initiales. L'influence de la non-linéarité critique se traduit donc par une accélération logarithmique de la décroissance temporelle des solutions.