Adrien Dubouloz

Le problème de simplification dit de Zariski consiste à se demander si deux variétés affines X et Y dont les produits cartésiens avec un espace affine sont isomorphes entre eux sont elles-mêmes isomorphes. Cela revient algébriquement à se demander si l'anneau des coefficients d'un anneau de polynômes est uniquement déterminé par sa structure. De nombreux contre-exemples sont connus dès la dimension 2, mais la question reste très largement ouverte en général dans le cas où l'une des deux variétés est elle-même un espace affine.

   Du point de vue algébrique, une variante naturelle consiste à remplacer les anneaux de polynômes par des anneaux de polynômes de Laurent, ce qui revient géométriquement à demander si deux variétés affines dont les produits cartésiens avec un tore algébrique sont isomorphes entre eux sont elles-mêmes isomorphes. La réponse étant, assez trivialement, positive dans le cas où l'une des deux variétés est elle-même un tore, il est tentant de penser que les tores algébriques sont toujours simplifiables ....

   Dans cet exposé, après un bref aperçu des résultats et contre-exemples classiques et plus récents concernant le problème de simplification de Zariski "usuel",  je présenterais quelques idées de construction de contre-exemples à la simplification pour les tores à partir de la dimension 2.