Clôture intégrale et opérations de tores algébriques de complexité un dans les variétés affines

Soit $
A = \mathbb{C}[f_{1},\ldots, f_{r}] $
une algèbre intègre de type fini sur
le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes.
En général, il est difficile
d'obtenir un ensemble de générateurs
de la normalisation de $A$ en fonction de
$f_{1},\ldots, f_{r}$. Dans cet exposé,
nous proposons de donner des exemples
lorsque $A$ est munie d'une multigraduation et
$f_{1},\ldots, f_{r}$ sont homogènes.

Considérons le groupe
$
\mathbb{T} = \mathbb{C}^{\star}\times\ldots\times\mathbb{C}^{\star} = (\mathbb{C}^{\star})^{n}
$
donné par la multiplication usuelle composante par composante.
On dit que $\mathbb{T}$ est un tore algébrique
de dimension $n$. Une opération de $\mathbb{T}$
dans $X = \rm Spec\,\it A$ est équivalente à 
munir $A$ d'une $M$-graduation où $M$ est le
réseau des caractères de $\mathbb{T}$.

On classe les algèbres $M$-graduées $A$ par un
nombre appelé complexité. Il correspond géométriquement
à  la codimension d'une orbite générale dans $X$.
D'un point de vue algébrique, la complexité mesure
en quelque sorte ``l'épaisseur des pièces graduées'' de
l'algèbre $A$.

Notre problème de normalisation est connu pour la complexité
zéro (cas torique).
Dans le cas de la complexité un, la normalisation de $A$
admet une description combinatoire (selon Timashev et Altmann-Hausen)
en termes de diviseurs polyédraux sur une courbe lisse.
Nous expliquerons comment reconstruire le
diviseur polyédral correspondant à  la normalisation de
$A$ à  partir de générateurs homogènes.
Nous discuterons sur la généralisation
aux diviseurs polyédraux sur un anneau de Dedekind.

Lorsque $A$ est normale, un problème analogue existe
pour les clôtures intégrales
d'idéaux homogènes. Nous donnerons également une réponse
dans ce cadre.

Enfin (toujours avec l'hypothèse $A$ normale)
nous exposerons une description des ideaux homogènes
intégralement clos pour la complexité un.