Valeurs des G-fonctions en des points algébriques

Les $G$-fonctions forment une classe de séries entières à  coefficients algébriques vérifiant certaines contraintes de croissance. Une $G$-fonction vérifie une équation différentielle fuchsienne et peut être prolongée analytiquement au plan complexe, privé de coupures. Comme exemple de $G$-fonctions, on peut citer les fonctions algébriques sur $\mathbb{Q}(z)$, les fonctions polylogarithmes, les fonctions hypergéométriques de Gauss à  paramètres rationnels. En revanche, l'exponentielle n'est pas une $G$- fonction. Le but de l'exposé est de présenter les deux résultats suivants : 1) Toute valeur en un point algébrique d'un prolongement d'une $G$- fonction (notons GC l'ensemble de ces valeurs) est aussi la valeur en z=1 d'une $G$-fonction en $z=1$, à  coefficients dans $\mathbb{Q}(i)$ et dont le rayon de convergence de la série de Taylor en $z=0$ peut être arbitrairement grand. 2) Le corps des fractions de GC coïncide avec le corps des nombres complexes définis de la façon suivante : pour chaque élément $x$ de ce corps, il existe deux suites $p_n$ et $q_n$ d'éléments de $\mathbb{Q}(i)$ tels que $q_n$ est différent de 0, $p_n/q_n$ tend vers $x$ et les séries génératrices $\sum_n p_n z^n$ et $\sum_n q_n z^n$ sont des $G$- fonctions.
Il s'agit d'un travail en commun avec Stéphane Fischler (Université de Paris-Sud).