Une démonstration nouvelle du théorème de Newlander-Nirenberg

On donne une nouvelle démonstration du théorème de
S. Webster suivant:

Théorème. Soit donnée, dans un voisinage de $0\in \mathbb{C}^{n},$ $n\geq 2,$ une structure presque complexe intégrable de classe $\mathit{C}^{r+\lambda },$ ou $r\geq 1$ est un entier naturel et $0<\lambda <1.$ Alors, dans un voisinage de $0$ il existe des coordonnées de classe $\mathit{C}^{r+1+\lambda }$ holormorphes par rapport a la structure presque complexe.
Webster a appliqué la méthode d'itération de Nash-Moser-Newton nécessitant une itération infinie en contrôlant la convergence des opérateurs de résolution approximatifs par rapport aux normes $\mathit{C}^{r+\lambda}$. La convergence est achevée en rétrécissant a chaque étape les domaines où les opérateurs sont définis. Dans notre approche nous montrons que la norme du terme d'erreur dans notre formule de résolution est inférieure a 1 si un certain paramètre a été choisi suffisamment petit. Dans cette méthode le domaine de définition de la formule est fixé. La construction des coordonnées holomorphes est achevée par un argument d'analyse fonctionnelle.