Dégénérescences équivariantes de modules sphériques II : les outils

Soit $G$ un groupe réductif connexe et complexe, et soit $\Gamma$ un
sous-monoïde de type fini du monoïde des poids dominants de $G$. V. Alexeev et M. Brion ont introduit un schéma de modules $M_{\Gamma}$ qui paramétrise les $G$-multiplications possibles sur le $G$-module $V(\Gamma):= \oplus_{\lambda \in \Gamma} V(\lambda)$.
Je donnerai un aperçu des outils que S. Papadakis et moi avons utilise pour déterminer $M_{\Gamma}$ lorsque $\Gamma$ est l'ensemble des plus hauts poids présents dans l'anneau de fonctions régulières $O(W)$ d'un $G$-module sphérique $W$, avec $G$ de type A. Comme il constitue l'essentiel du travail, j'accorderai une attention particulière au calcul de l'espace tangent de $M_{\Gamma}$ au point correspondant a la multiplication de Cartan sur $V(\Gamma)$.