Analogue(s) d'un théorème d'Anderson et Klee en géométrie algébrique.

Depuis une dizaine d'années, notamment grâce aux travaux de Helton-Nie, Lasserre et Ranestad-Sturmfels, la géométrie algébrique a offert de nouveaux points de vue et des méthodes puissantes à l'optimisation convexe. On pourrait se demander si l'optimisation convexe a quelque chose à offrir en retour à la géométrie algébrique. En 2010, suivant les travaux de Ranestad et Sturmfels, j'ai conjecturé que l'analogue schématique d'un théorème de Anderson et Klee était vrai. Etant donné une variété $X \subset \mathbb{P}^N$, cette conjecture prédit des bornes précises sur la dimension de la famille des hyperplans tangents à X le long d'un schéma qui engendre un espace linéaire de dimension fixée. Curieusement, la possibilité même d'avoir de telles bornes n'a jamais été envisagée avant 2010.
Dans cet exposé, je discuterais de nombreux exemples vérifiant cette conjecture, de contre-exemples récemment exhibés par Claire Voisin et d'un résultat en collaboration avec Danila, Koelblen, Peskine et Zak qui semble optimal du point de vu des bornes cherchées. Je donnerais aussi quelques applications aux phénomènes d'osculation pour les variétés de grande codimension.