7  Des exercices corrigés avec Xcas

7.1  Fonction et représentation graphique (niveau terminale S)

7.1.1  Exercice 1

On considère la fonction f de ℝ-{3} dans ℝ définie par :

1. Calculer la derivée première f′ et seconde f″ de f.
   En déduire les variations de f′.
2. Calculer les limites de f′ en −∞ et en 3 à gauche.
3. Montrer que f′ s’annule une seule fois en α sur ]−∞;3[. Donner un encadrement de α d’amplitude 0.1.
4. Étudier le signe de f′(x) sur ℝ-{3} et en déduire les variations de f.
5. Tracer la courbe C de f dans un repère orthonormé (unité 1cm).
6. Calculer l’aire en cm² de la région comprise entre C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=−1 et x=2.

Réponses

1. On tape pour définir la fonction f :
   f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))
   On tape pour définir la fonction f′ :
   f1:=function_diff(f):;
   puis,
   f1(x)
   On obtient :
   ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)
   Donc f′(x)=ln(|x−3|)+x+1/x−3.
   On tape pour définir la fonction f″ :
   f2:=function_diff(f1):;
   puis,
   f2(x)
   On obtient :
   1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))
   puis pour simplifier l’écriture, on tape :
   normal(f2(x))
   On obtient :
   (x-7)/(x^2-6*x+9)
   ou bien pour factoriser, on tape :
   factor(f2(x))
   On obtient :
   (x-7)/((x-3)^2)
   Donc f″(x)= x−7/(x−3)²

   Autre façon
   On tape pour définir la fonction f :

   f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))

   On tape pour calculer f′(x) :

   dfx:=diff(f(x)

   On obtient :

   ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)

   Donc f′(x)=ln(|x−3|)+x+1/x−3.
   Et on tape pour définir la fonction f′ à partir de dfx:

   f1:=unapply(dfx,x);

   On tape pour calculer f″(x) :

   ddfx:=diff(dfx)

   On obtient :

   1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))

   ou pour avoir une écriture factorisée, on tape directement :

   ddfx:=factor(diff(dfx))

   On obtient :

   (x-7)/((x-3)^2)

   Donc f″(x)= x−7/(x−3)²
   Et on tape pour définir la fonction f″ à partir de ddfx:

   f2:=unapply(ddfx,x);

   Cette façon de faire à l’avantage de définir la fonction f2=f″ à partir d’une expression simplifiée ou factorisée.
   Attention !!! On ne peut pas écrire par exemple :
   g(x):=normal(diff(f(x))) pour définir la fonction g=f′ mais on doit écrire g:=unapply(normal(diff(f(x))),x) car sinon il y a confusion entre x variable de dérivation et x variable de la fonction g.

2. On tape pour avoir la limite de f′ en −∞ :
   limit(f1(x),x,-infinity)
   On obtient :
   +infinity
   On tape pour avoir la limite de f′ en 3⁻ :
   limit(f1(x),x,3,-1)
   On obtient :
   -infinity
3. f′ est continue et décroissante de +∞ à −∞ sur ]−∞;3[ puisque f″(x)<0 sur ]−∞;3[. Il existe donc α unique dans ]−∞;3[ tel que f′(α)=0.
   On tape pour avoir une valeur approchée de α :
   assume(x<3);fsolve(f1(x),x)
   On obtient :
   x,0.776592890991
   Puis, on tape pour enlever l’hypothèse sur x :
   purge(x)
   On tape :
   f1(0.7)
   On obtient :
   0.0937786881525
   On tape :
   f1(0.8)
   On obtient :
   -0.0297244578175
   On a f1(0.7)>0 et f1(0.8)<0 donc 0.7<α<0;8.
4. Puisque f″(7)=0, on tape pour avoir le minimum de f′ sur ]3;+∞[ :
   f1(7)
   On obtient :
   ln(4)+2
   Le minimum de f′ sur ]3;+∞[ est donc positif.
   Donc f′(x)>0 si x ∈ ]−∞;α[ ∪ ]3;+∞[ et f′(x)<0 si x ∈ ]α;3[.
   Donc f est croissante sur ]−∞;α[ ∪ ]3;+∞[ et est décroissante sur ]α;3[.
5. On cherche les limites de f en −∞, +∞, et en 3.
   On tape :
   limit(f(x),x,-infinity)
   On obtient :
   -infinity
   On tape :
   limit(f(x),x,+infinity)
   On obtient :
   +infinity
   On tape :
   limit(f(x),x,3)
   On obtient :
   -infinity
   On trace les graphes de f et des deux droites x=−1 et x=2, on tape :
   plofunc(f(x),x);droite(x=1);droite(x=2)
   On obtient le tracé du graphe de f et le tracé des droites x=−1 et x=2.
6. On tape pour trouver l’aire en cm² :
   integrate(f(x),x,-1,2)
   On obtient :
   8*ln(4)-12+15/4
   On tape :
   normal(8*ln(4)-12+15/4))
   On obtient :
   8*ln(4)-33/4
   On tape si on veut faire l’intégration par parties :
   ibpu((x+1)*ln(abs(x-3)),ln(abs(x-3)))
   On obtient :
   [((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)]
   On tape pour terminer l’intégration :
   A:=ibpu([((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)],0)
   On obtient :
   (-x^2-10*x)/4-15*1/2*ln(abs(x-3))+((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3))
   On tape :
   preval(A,-1,2)
   On obtient :
   8*ln(4)-9/4-6)
   On tape :
   normal(8*ln(4)-9/4-6))
   On obtient :
   8*ln(4)-33/4
   Donc l’aire cherchée vaut (8*ln(4)−33/4) cm²;

7.1.2  Exercice 2

On considère la fonction f de ℝ dans ℝ définie par :

1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ, P(x)=x⁴−2x³+2x²+1 ≥ 1
2. Étudier les variations de f et tracer son graphe.
3. Trouver l’équation de la tangente au graphe au point d’abscisse x=0
4. Calculer ∫₀^x f(t)dt puis, lim_x−>+∞∫₀^x f(t)dt

Réponses

1. On tape :
   factor(x^4-2x^3+2x^2)
   On obtient :
   (x^2+-2*x+2)*x^2
   On tape :
   canonical_form(x^2-2*x+2)
   On obtient :
   (x-1)^2+1
   Donc pour tout x ∈ ℝ, x⁴−2x³+2x²=x²*(x−1)²+x² ≥ 0
   donc pour tout x ∈ ℝ, P(x)=x⁴−2x³+2x²+1 ≥ 1
2. On tape pour calculer la valeur de la dérivée de f en un point :
   normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))
   On obtient :
   (-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1)/ ((exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x))

   Le numérateur est négatif car il est égal à −P(exp(x)) et le dénominateur est strictement positif car il est égal à une somme de termes strictement positifs. La fonction f est donc décroissante.
   Pour chercher la limite de f en +∞, on tape :

   limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)

   On obtient :

   0

   Pour chercher la limite de f en −∞, on tape :

   limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)

   On obtient :

   infinity

   Pour tracer le graphe de f, on tape :

   plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)

   On obtient le graphe de f.

3. On définit la fonction f, on tape :
   f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))
   On calcule f(0), on tape :
   f(0)
   On obtient

   1 2

   On définit la fonction df comme étant la dérivée de f, on tape :
   df:=unapply(normal(diff(f(x),x)),x)
   On calcule df(0), on tape :
   df(0)
   On obtient :

   −

   1 2

   L’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est donc :
   y=df(0)*x+f(0) c’est à dire y=−1/2x+1/2.
   ou encore on tape :
   equation(tangent(plotfunc(f(x)),0),[x,y])
   On obtient :
   y=(1/-2*x+1/2)y=(1/-2*x+1/2)
4. On calcule l’intégrale : ∫₀^x f(t)dt
   On tape :
   int(f(t),t,0,x)
   On obtient :
   (ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)* 1/2/exp(x)-1/2*ln(2)
   Puis on calcule : lim_x−>+∞∫₀^x f(t)dt , on tape :
   limit((ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2) *1/2/exp(x)-1/2*ln(2),x=+infinity)
   On obtient :
   -1/2*ln(2)+1

7.2  Calcul de primitives (niveau début université)

1. Calculer

   ∫

   2 1

   1 x3+1

   dx

   Réponse :
   On tape :
   int(1/(x^3+1),x,1,2)
   On obtient apres simplification (en utilisant normal}
   (sqrt(3)*ln(2)+pi)*1/3/sqrt(3)
   Pour vérifier, on tape :
   partfrac(1/(1+t^3))
   On obtient :
   1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)
   Puis on intègre chaque terme séparément...
2. Décomposer, sur ℝ, en éléments simples : t²/1−t⁴.
   Calculer ∫t²/1−t⁴dt et ∫sin(x)²/cos(2x)dx
   Réponse :
   On tape :
   partfrac(t^2/(1-t^4))
   On obtient :
   -1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)
   On tape :
   int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)
   ou on tape :
   int(t^2/(1-t^4),t)
   On obtient :
   1/(-2*atan(t))+1/(4*ln(abs(t+1)))+1/(-4*ln(abs(t-1)))
   On tape :
   normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))
   On obtient :
   -1/2*x-1/-4*ln(abs((tan(1/2*x))^2-2*tan(1/2*x)-1))- 1/4*ln(abs((tan(1/2*x))^2+2*tan(1/2*x)-1))
   Ou on tape en linéarisant avant d’intégrer :
   normal(int(tlin(sin(x)^2/cos(2*x))))
   On obtient :
   1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))+1/-2*x
   Ou encore on veut faire le changement de variable tan(x)=t et on tape pour avoir l’expression en fonction de la tangente, avant d’intégrer :
   trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))
   On obtient :
   (-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)
   On fait le changement de variable x=atan(t) on tape :
   subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))
   ou on tape
   subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))
   On obtient
   integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)
   Soit, le remplacant t par tan(x) :
   1/-2*atan(tan(x))+1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))
3. Calculer ∫1/t²dt, ∫1/t(t²+1)dt, et ∫t²−t+1/t⁴+t²dt
   Réponse :
   On tape :
   int(1/t^2,t)
   On obtient :
   1/(-t)
   On tape :
   int(1/(t*(t^2+1)),t)
   On obtient :
   1/-2*ln(t^2+1)+1/2*ln((abs(t))^2)
   On tape :
   int((t^2-t+1)/(t^2+t^4),t)
   On obtient :
   1/2*ln(t^2+1)-ln(abs(t))+(-t+1)/(-t)

7.3  Dévelopements limités

1. Donner un développement limité à l’ordre 7 au voisinage de x=0 de :

   sin(sinh(x))−sinh(sin(x))

   Réponse :
   On tape :
   series(sin(sinh(x))-sinh(sin(x)),x=0,7)
   On obtient:
   1/-45*x^7+x^8*order_size(x)
2. Donner un développement limité à l’ordre 4 au voisinage de x=0 de :

   ln(cos(x)) exp(x+x2)

   Réponse :
   On tape :
   series(ln(cos(x))/exp(x+x^2),x=0,4)
   On obtient :
   1/-2*x^2+1/2*x^3+1/6*x^4+x^5*order\_size(x)
   La fonction order_size est telle que, pour tout α>0, x^αorder_size(x) tend vers 0 quand x tend vers 0

7.4  Équations différentielles

1. Trouver les solutions de l’équation différentielle :

   x(x2−1)y′+2y=0

   Réponse :
   On tape :
   desolve(x*(x^2-1)*y'+2*y=0,y)
   On obtient :
   (c\_0*x^2)/(x^2-1)
2. Trouver les solutions de l’équation différentielle :

   x(x2−1)y′+2y=x2

   Réponse :
   On tape :
   desolve(x*(x^2-1)*y'+2*y=x^2,y)
   On obtient :
   ((ln(abs(x))+c\_0)*x^2)/(x^2-1)

7.5  Les matrices

1. Soit M_a=[

   2a−1	a	2a−1
   a2+a−2	a2−1	a−1
   a2+a−1	a2+a−1	a

   ]
   a) Pour quelles valeurs de a, M_a est-elle inversible ?
   Préciser son rang lorsqu’elle n’est pas inversible.
   b) Calculer l’inverse de M₂

   Réponse :
   On tape :

   M:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]

   On calcule le déterminant de M, on tape :

   det(M)

   On obtient :

   2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*a

   Pour avoir l’inverse de M on tape :

   inv(M)

   On obtient :

   1 2a4−2a3−2a2+2a

   ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

   a−1 2a3+3a+1 −2a3+a2+a−1 −a2+1 −2a3+a2+2a−1 2a3−a2−2a+1 a3−2a+1 −a3+2a−1 a3−2a2+1

   ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

   On tape :

   solve(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a,a)

   On obtient :

   [-1,0,1]

   Donc la matrice est inversible si a ∉[−1,0,1]
   Ou on tape :

   factor(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a)

   On obtient :

   2*(a+1)*a*(a-1)^2

   On tape :

   rank(subst(M,a,-1))

   On obtient :

   2

   On tape :

   rank(subst(M,a,0))

   On obtient :

   2

   On tape :

   rank(subst(M,a,1))

   On obtient :

   1

   On tape :

   inv(subst(M,a,2))

   On obtient : A=1/12[

   1	11	−7
   −3	−9	9
   5	−5	1

   ]
   Remarque : pour éviter de faire des substitutions on peut définir la matrice M comme une fonction de a, il faut alors écrire :

   M(a):={[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]}

   surtout ne pas oublier { et }.
   On peut alors taper : inv(M(2)).

2. Soit A=[

   1	1	a
   1	a	1
   a	1	1

   ]
   Pour quelles valeurs de a, A est-elle diagonalisable ?

   Réponse :
   On tape :

   A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]]

   Pour avoir les valeurs propres de A on tape :

   egvl(A)

   On obtient :

   ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −a+1 0 0 0 a+2 0 0 0 a−1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

   ce qui s’écrit :

   [[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]

   Si a ≠ 1 il y a 3 valeurs propres distinctes −a+1,a+2,a−1 et
   si a=1 il y a une valeur propre double (λ=0) et une valeur propre simple (λ=3).
   Puis on cherche la matrice de passage, on tape :

   egv(A)

   On obtient :

   ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −1 1 1 0 1 −2 −1 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

   ce qui s’écrit :

   [[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]]

   les vecteurs propres sont les colonnes de cette matrice.
   Ou on tape pour avoir directement les deux informations, matrice de passage et réduite de Jordan :

   jordan(A)

   On obtient une liste de deux matrices [P,B] (P est la matrice de passage et B=P⁻¹AP) :

   ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −1 1 1 0 1 −2 −1 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −a+1 0 0 0 a+2 0 0 0 a−1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

   ce qui s’écrit :

   [[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]],[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]]

   On remarque qu’en faisant : a:=1 puis jordan(A)
   les valeurs propres doubles sont regroupées et on obtient :

   ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 −3 0 1 0 −3 1 3 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

   
   ce qui s’écrit :

   [[[1,-3,0],[1,0,-3],[1,3,3]],[[3,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]

   A est donc diagonalisable quelque soit a et B=P⁻¹AP.