4  Outils pour l’Algèbre

4.1  Arithmétique des entiers

Les opérations sur les entiers figurent dans le menu Cmds->Entier. Les calculs modulo p se font en utilisant % p. Une fois défini un entier modulo p, disons a:=3%5, tous les calculs seront efffectués dans ℤ/pℤ : a*2 renvoie 1%5 (6 modulo 5), 1/a renvoie 2%5, …  Pour calculer efficacement les puissances modulo p, on peut utiliser ce qui précède, ou la fonction powermod ou powmod.

a:=3%5
a+12
a^4
powermod(3,4,5)

4.2  Polynômes et fractions rationnelles

Les fonctions de traitement des polynômes sont dans le menu Cmds->Polyn\^omes.

On utilise normal ou expand pour développer, ou plus généralement mettre une fraction sous forme irréductible, et factor pour factoriser. Le résultat dépend du corps de nombres dans lequel on se place. Par défaut il s’agit des rationnels si les coefficients sont exacts ou des réels sinon. Pour les complexes (exacts ou approchées), il faut activer l’option Complexe à partir du bouton rappelant la configuration Config:.... On peut aussi déclarer les coefficients comme des entiers modulo p pour travailler dans ℤ/pℤ (commande %) ou dans un corps fini (défini par la commande GF). Exécutez les commandes suivantes avant et après avoir activé l’option Complexe.

P:=x^4-1
factor(P)
gcd(P,x^3-1)
divis(P)
propfrac(x^4/P)
partfrac(4/P)
Q:=(x^4+1)%3
factor(Q)
G:=GF(2,8,['a','G'])
factor(G(a^3)*x^2+1)
genpoly(5,3,x)
genpoly(2,3,x)
genpoly(2*y+5,3,x)

4.3  Trigonométrie

Le menu Cmds->R\'eel->Transcendental contient les fonctions circulaires et hyperboliques ainsi que leurs inverses. Pour linéariser et développer on utilise tlin et texpand. Beaucoup d’autres réécritures sont accessibles à partir des menus

• Expression->Trigo : transformations en tan(x/2) (halftan), transformation des tangentes en sinus et cosinus (tan2sincos), …
• Expression->Trigo exp : transformation des fonctions trigonométriques en exponentielles par les formules d’Euler (trig2exp), transformation des exponentielles en fonctions trigonométriques (exp2trig), transformation des exponentielles en puissances (exp2pow)...,
• Expression->Trigo inv : transformation des fonctions inverses

exp2pow(exp(3*ln(x)))
exp2trig(exp(i*x))
trig2exp(cos(x))
E:=sin(x)^4+sin(x)^3
El:=tlin(E)
texpand(El)
tsimplify(E)
tsimplify(El)
tsimplify(E-El)
halftan(E)
trig2exp(El)
Et:=trigtan(E)
tan2sincos(Et)
tan2sincos2(Et)
tan2cossin2(Et)

4.4  Vecteurs et matrices

Un vecteur est une liste de nombres, une matrice est la liste de ses vecteurs lignes. Le produit matriciel est noté comme le produit ordinaire *. Les vecteurs sont a priori des vecteurs lignes, mais le produit à droite par un vecteur ligne est effectué comme si c’était une colonne. En particulier, si v et w sont deux vecteurs de même taille, v*w retourne leur produit scalaire.

A:=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
v:=[1,1,1]
v*v
A*v
v*A
B:=[[1,1,1],[2,2,2]]
A*B
B*A
A*tran(B)

A partir d’une fonction qui à deux indices (j,k) associe un réel a(j,k), on peut constituer une matrice avec makemat ou matrix. Pour makemat les indices commencent à 0, pour matrix il commencent à 1.

makemat((j,k)->j+2*k,3,2)
matrix(3,2,(j,k)->j+2*k)

On peut aussi créer des matrices par blocs avec la commande blockmatrix.

A:=makemat((j,k)->j+2*k,3,2)
B:=idn(3)
blockmatrix(1,2,[A,B])
blockmatrix(2,2,[A,B,B,A])

On accède à un élément d’une matrice grâce à deux indices séparés par une virgule et mis entre crochets. Le premier indice est l’indice de la ligne et le deuxième celui de la colonne. Les indices commencent à 0. Par exemple, si A:=[[0,2],[1,3],[2,4]] alors A[2,1] renvoie 4. Pour extraire un bloc de la matrice, on utilise des intervalles comme indices : A[1..2,0..1] renvoie le bloc constitué des lignes 1 à 2 et des colonnes 0 à 1.

Notez que les matrices de Xcas sont recopiées entièrement à chaque modification d’un coefficient. Ceci est pénalisant si on modifie successivement dans un programme beaucoup de coefficients d’une même (grande) matrice.

4.5  Systèmes linéaires

La fonction linsolve résout une liste d’équations linéaires, avec la même syntaxe que solve. On peut aussi utiliser simult pour résoudre plusieurs systèmes d’équations linéaires qui ne diffèrent que par leur second membre, en mettant comme premier argument la matrice du système et comme second argument la matrice dont la (ou les) colonnes sont le (ou les) second membre(s) des systèmes, ou bien rref d’argument une matrice obtenue en bordant la matrice du système avec lesecond membre (border(A,tran(b)) si b est une matrice colonne). Quand le système est impossible, linsolve retourne la liste vide, simult retourne un message d’erreur, rref retourne une matrice dont une des lignes est nulle, sauf le dernier coefficient. Quand le système est indéterminé, linsolve retourne la solution fonction de certaines variables, simult retourne seulement une solution, rref retourne une matrice dont une ou plusieurs lignes sont nulles. L’exemple ci-dessous concerne le système

Il a une solution unique pour a≠ 1 et a≠ −2, il est impossible pour a=1 et il est indéterminé pour a=−2.

linsolve([x+y+a*z=1,x+a*y+z=1,x+a*y+z=-2],[x,y,z])
a:=1
linsolve([x+y+a*z=1,x+a*y+z=1,x+a*y+z=-2],[x,y,z])
a:=-2
linsolve([x+y+a*z=1,x+a*y+z=1,x+a*y+z=-2],[x,y,z])
purge(a)
A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]]
solve(det(A),a)
A1:=subst(A,a=1)
rank(A1)
image(A1)
ker(A1)
A2:=subst(A,a=-2)
rank(A2)
image(A2)
ker(A2)
b:= [1,1,-2]
B:=tran(b)
simult(A,B)
simult(A1,B)
simult(A2,B)
M:=blockmatrix(1,2,[A,B])
rref(M)
rref(border(A,b))
rref(border(A1,b))
rref(border(A2,b))

4.6  Réduction des matrices

La fonction jordan prend en entrée une matrice A et retourne en sortie une matrice de passage P et une forme réduite de Jordan J telles que P⁻¹A P=J. Soit A est diagonalisable auquel cas J est diagonale et contient les valeurs propres de A sur la diagonale, soit A n’est pas diagonalisable et J comporte des "1" ou des "0" au-dessus de la diagonale. Pour les matrices exactes et symboliques, seules les valeurs propres calculables par solve sont accessibles. Pour des matrices de nombres approchés, un algorithme numérique est utilisé, et il risque d’échouer en cas de valeurs propres multiples ou très proches. La matrice A de l’exemple qui suit a pour valeurs propres doubles 1 et 2. Elle est diagonalisable pour a=0, non diagonalisable pour a≠ 0.

A:=[[1,1,-1,0],[0,1,0,a],[0,-1,2,0],[1,0,1,2]
factor(poly2symb(simplify(pcar(A))))
jordan(A)
eigenvals(A)
eigenvects(A)
jordan(subs(A,a=0))
eigenvects(subs(A,a=1))
jordan(evalf(subs(A,a=0)))
jordan(evalf(subs(A,a=1)))

Certaines fonctions, définies par des séries entières, s’étendent aux matrices dès lors que l’on sait calculer leur forme de Jordan. La plus utile est l’exponentielle.

A:=[[0,1,0],[0,0,1],[-2,1,2]]
jordan(A)
exp(A)
ln(A)
sin(A)