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Les graphes des fonctions possède un maximum ayant comme
coordonnées . Pour la fonction de l'exercice 6,
quand tend vers , on va montrer que :
Le calcul approché de (cf exercice 3) montre que
.
Ces ''bosses'' au voisinage du point de discontinuité s'appellent le
phénomène de Gibbs.
Exercice 7 (à rendre au début du TP5)
Observation et démonstration de ce phénomène :
On cherche la limite de
quand tend vers
- de façon empirique
Déterminer les coordonnées du maximum de :
pour n=1, 2, 3, 4, 5, 6
- de façon théorique
- Déterminer la valeur de
- Montrer que :
- Montrer que :
et en déduire que :
- En déduire que :
- En faisant un changement de variables montrer que :
- Prouver que :
- On définit la fonction par :
Montrer que est continue, en déduire :
- Montrer que tend vers
quand tend vers .
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2003-02-19