Rappels du cours

On sait que les coefficients de Fourier d'une fonction, $2\pi$-périodique et intégrable sur tout intervalle fermé borné, sont définis pour $n \in \mathbb{Z}$ et pour $\alpha \in \mathbb{R}$ par :

$$c_n(f)=\frac{1}{2\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)e^{-int}dt$$

et que la série de Fourier associée à $f$ est :

$$SF(f)(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(f)e^{inx}$$

On peut aussi définir les coefficients de Fourier réels pour $n \in \mathbb{N}$ et pour $\alpha \in \mathbb{R}$ par :

$$a_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)\cos(nt)dt$$

$$b_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)\sin(nt)dt$$

On a alors :

$$SF(f)(x)=\frac{a_0(f)}{2}+ \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n(f)\cos(nx)+b_n(f)\sin(nx))$$

Théorème de Dirichlet
Si au point $x_0$, $f$ admet une limite à droite et une limite à gauche (que l'on note $f(x_0+0)$ et $f(x_0-0)$), ainsi qu' une dérivée à droite et une dérivée à gauche, alors la série $SF(f)(x_0)$ converge vers $\frac{1}{2}(f(x_0-0)+f(x_0+0))$.
En particulier si $f$ est dérivable pour tout $x$, $SF(f)(x)$ converge vers $f(x)$.

Exercice 6 (à rendre à la fin de la 2ème séance du TP4)
Trouver le développement

$$SF(f)(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx)$$

en séries de Fourier de la fonction $f$ périodique de période $2\pi$ définie par :

$$f(x)=x$$    pour $$x \in ]- \pi;\ \pi[, \quad f(\pi)=0.$$

On note :

$$SF(f)_n(x)= \sum_{k=0}^n a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx)$$

Donner la valeur et tracer sur un même graphique et pour $x\in[-4;4]$ les graphes des fonctions suivantes :

$$f(x), SF(f)_1(x), SF(f)_2(x), SF(f)_3(x), SF(f)_4(x), SF(f)_5(x), SF(f)_6(x)$$