Mécanique Statistique des Marches Quantiques - MeStaMaQ

Projet exploratoire Persyval-lab , UGA

Alain Joye





Contexte scientifique :

Les marches quantiques, dans leurs versions aléatoires et déterministes, sont des modèles de dynamique quantique discrète en temps et en espace. Cette notion est au carrefour de la physique quantique, de l’informatique théorique et des probabilités non commutatives. Les marches quantiques fournissent des approximations de la dynamique quantique de systèmes physiques complexes dans certains régimes. Elles apparaissent également dans la confection et l’évaluation d’algorithmes destinés aux ordinateurs quantiques. Enfin, l’interprétation probabiliste de la mécanique quantique confère aux marches quantiques le statut de généralisation naturelle non commutative de la notion de marche aléatoire classique; voir la revue [V-A]. Ce sujet de recherche s’insère donc naturellement dans les thèmes scientifiques développés par le Labex Persyval-Lab, notamment par l’action SIM Modélisation et Simulation. Un marcheur quantique peut-être vu comme une particule quantique munie d’un spin se mouvant sur un graphe infini donné, décrite par un vecteur dans un espace de Hilbert de dimension infinie lié au graphe choisi. Sa dynamique unitaire sur une étape de temps consiste en une action locale sur son spin, suivie de l’action d’un shift translatant la particule sur l’un des plus proches voisins du site qu’elle occupe, en fonction de l’état de son spin, voir e.g. [J]. Le projet s’inscrit dans le cadre de la mécanique statistique quantique hors équilibre en physique mathématique, décrit en particulier dans [AJP], autour de deux thèmes principaux. L’analyse de la dynamique des états d’un système de référence couplé à plusieurs réservoirs thermiques et des propriétés thermodynamiques des flux de chaleur ou de particules entre réservoirs au travers du système. L’étude d’un système de référence couplé à un environnement plus ou moins structuré et des caractéristique principales des équations de la dynamique effective du système de référence, notamment des effets induits par l’environnement. Bien que les marches quantiques fassent l’objet de nombreuses études, il n’existe à notre connaissance pas de résultats mathématiques sur les marches quantiques unitaires connectées à des réservoirs ou au contact d’un environnement. Nous proposons d’aborder le premier point lorsque le système de référence est une marche quantique, pour différents types de réservoirs caractérisés par une dynamique discrète en temps. Un cas particulier est fourni par des dynamiques de type interactions quantiques répétées. L’objectif à plus long terme est de parvenir à une version quantique des modèles aléatoires classiques unidimensionnels de transport de type Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (TASEP). Concernant la seconde question, l’environnement envisagé est un champ de spin avec lequel le degré de liberté interne du marcheur interagit, préalablement au mouvement induit par l’action du shift sur la particule. Les échanges entre champ de spins et marcheur quantique sont susceptibles d’influencer les propriétés effectives de transport du marcheur. Nous étudierons notamment les transitions de régimes, de type balistique-diffusif dans le cas de marches découplées invariantes sous les translations, ou de type localisé-diffusif dans le cas de marches découplées aléatoires.

Participants :

Prénom Nom
Statut
 Laboratoire
Alain Joye
 Professeur (Porteur)
Institut Fourier
Nicolas Rougerie Chargé de Recherche CNRS
 LPMMC
  Dominique Spehner
Maître de Conférences
 Institut Fourier
Olivier Bourget
 Profesor asociado
 PUC Santiago
Eman Hamza
 Lecturer
Cairo University
Marco Merkli
 Professor
 MUN St John’s

Marcheurs quantiques couplés à des réservoirs :

Les motivations de cette partie du projet sont de plusieurs ordres. Certaines propriétés caractéristiques du transport dans des systèmes quantiques aléatoires se démontrent beaucoup plus aisément dans leur version marche quantique que dans la version hamiltonienne, telle la transition localisation-délocalisation de modèles aléatoires définis sur des arbres, voir [HJ]. Il est dès lors raisonnable d’espérer une simplification semblable pour les marches quantiques en contact avec des reservoirs, ce qui permettrait une étude fine des propriétés mentionnées ci-dessus. Une autre motivation est la définition et l’étude d’une version quantique des modèles aléatoires classiques unidimensionnels de transport de type Totally Asymmetric Simple Exclusion Process. Les versions classiques de ces modèles stochastiques de particules en interaction et en contact avec deux réservoirs de températures différentes donnent lieu à des dynamiques asymptotiques possédant des propriétés thermodynamiques non triviales dans certains régimes [DLS]. On peut espérer que les marches quantiques, vues comme analogues quantiques des marches aléatoires classiques, permettent de définir naturellement une version quantique de ces modèles importants en mécanique statistique, et d’analyser les effets quantiques sur leurs propriétés thermodynamiques.

Marcheurs quantiques couplés à un environnement :

La matrice densité réduite du marcheur est obtenue après avoir pris la trace sur les degrés de liberté du champ de spin et du spin de la particule. Elle fournit en particulier une famille de lois de probabilité discrètes sur le graphe sous-jacent, indexées par le temps discret de l’évolution, donnant la probabilité de trouver la particule sur un sommet du graphe au temps choisi. Le comportement à grands temps de cette famille de lois décrit les propriétés de transport de la particule au travers des moments de ces lois. Nous souhaitons étudier l’existence d’une loi limite pour la position de la particule ou sa vitesse, dans certaines limites d’échelle, à l’instar de ce qui se fait pour les marches quantiques découplées invariantes sous les translations. Un résultat moins ambitieux mais important d’un point de vue physique consiste à appréhender le comportement de la variance à grands temps, voire des autres moments, ce qui suffit pour déterminer les différents régimes de transport du marcheur quantique en interaction avec le champ mentionnés plus haut, en fonction des divers paramètres de la marche. Dans un autre ordre d’idée, l’approche proposée du problème donne lieu à une dynamique effective du marcheur quantique avec son spin, sur le graphe sous-jacent, par la définition de sa matrice densité réduite après n’avoir éliminé que les degrés de liberté du champ. Cette matrice densité réduite provenant d’une dynamique globale unitaire donne lieu à ce qu’il est légitime d’appeler une marche quantique ouverte. Nous souhaitons les étudier et déterminer en particulier sous quelles conditions leurs évolutions sont markoviennnes. Dans ce dernier cas, nous comparerons les dynamiques obtenues de cette façon à celles des marches quantiques ouvertes introduites par [APSS], définies a priori sans faire référence à un environnement explicite, afin d’en justifier les définitions d’un point de vue plus intrinsèque.

Références :

Réalisations :

Un premier travail sur la thermalisation d'un ensemble de marcheurs quantiques fermioniques sans interaction évoluant sur un échantillon de taille finie mis contact avec un réservoir infini de marcheurs est accessible sur les archives. On y montre en particulier que les matrices densités réduites à un et deux corps sur l'échantillon convergent à grands temps vers des limites charactérisées par l'état du réservoir et indépendantes de la dynamique sur l'échantillon.
Clément Bonnafoux a effectué son stage de M2R Mathématiques Fondamentales sur un modèle de marches quantiques utilisé en physique de la matiè condensée dans le cadre du projet MeStaMaQ.
Un second travail concerne les propriétés spectrales et de transport du modèle de Chalker-Coddington dans une situation où deux phases localisés de chiralités; différentes sont séparées par une interface dans laquelle le modèle présente des propri&eracute;tés rbitraires. On y montre en particulier que le spectre absolument continu couvre le cercle unité en général.