Dynamique quantique dans l'espace de phase

Commentaires

• La figure de gauche montre l'évolution quantique de la distribution de Husimi d'un paquet d'onde initialement centré en $\left(x_{0},p_{0}\right)=\left(0.1,0.5\right)$. La figure de droite montre la même distribution en niveaux de gris.

Observations

• Au départ la distribution s'étire et se replie comme la distribution classique de Liouville. Mais rapidement différentes branches se rencontrent et interfèrent. A partir de ce moment appelé temps d'Erhenfest $T_{E}$, les interférences dominent complètement et il ne semble plus y avoir d'accord avec l'évolution classique. La distribution quantique semble alors équidistribuée sur la région chaotique permise.
• Evaluation du temps d'Erhenfest: si le facteur d'étirement appelé coeficient de Lyapounov est noté $\exp\left(\lambda\right)$, pour atteindre le temps d'Erenfest il y a deux étapes:
  • il faut que la distribution initiale de taille microscopique $\simeq\sqrt{h}$ s'étire et atteigne la longueur $\simeq1$. Cela se fait en temps $t$ donné par $\sqrt{h}\left(e^{\lambda}\right)^{t}\simeq1$ soit $t\simeq\ln\left(1/h\right)/(2\lambda)$.
  • Il y a ensuite repliement de la distribution. Deux branches de la distribution distantes de $\simeq1$ vont interférer lorsqu'elles seront distantes de $\simeq\sqrt{h}$ . Il faut donc à nouveau la durée $t=\ln\left(1/h\right)/(2\lambda)$. Au total:
    $$T_{E}=\frac{\ln\left(1/h\right)}{\lambda}$$