Chapitre 3  Fonctions et équations en terminale scientifique

3.1  Étude de f(x)=ln(x²−4x+3/1−x²)

1. Domaine de définition
   On tape :
   solve(x^2-4x+3)
   On obtient :
   [1,3]
   On tape :
   solve(x^2-1)
   On obtient :
   [-1,1]
   On tape :
   normal((x^2-4x+3)/(1-x^2))
   On obtient :
   (-x+3)/(x+1)
   On tape :
   solve((x^2-4x+3)*(1-x^2)>0)
   On obtient :
   [((x>-1) && (x<1)),((x>1) && (x<3))]
   Donc f est définie sur ]−1;1[∪]1;3[ Mais on peut prolonger f par continuité en 1 en posant f(1)=ln(1)=0
2. Dérivée
   On tape :
   factor(diff(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2))))
   On obtient :
   4/((x-3)*(x+1))
   Or (x−3)*(x+1)<0 sur ]−1; 3[ donc f est :
   décroissante sur ]−1; 3[
   On cherche si f est dérivable en x=1, on tape :
   limit(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2))/(x-1),x=1)
   On obtient :
   -1
   Donc f est dérivable en x=1 et sa dérivée vaut -1.
3. Branches infinies
   On tape :
   limit(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2)),x=-1,1)
   On obtient :
   +ininity
   On tape :
   limit(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2)),x=3,-1)
   On obtient :
   -ininity
   Donc x=−1 et x=3 sont asymptotes.
   On tape :
   limit((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=-2/3,-1)
   On obtient :
   -infinity
   
4. Graphe
   On tape :
   plotfunc(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2)))
   affichage(droite(x=-1),droite(x=3),1), affichage(droite(y=-x+1),2)
   On obtient :
   

3.2  Calcul de dérivée n-ième

3.2.1  Dérivée n-ième de cos(x)³+sin(x)³

Calculer la derivée n-ième de la fonction f(x)=cos(x)³+sin(x)³ en fonction de n.
On va faire cet exercice de deux façons :

• On fait le calcul directement en cherchant les relations de récurrence entre la dérivée n−ième et la dérivée (n+1)−ième en s’aidant de Xcas.
• On linéarise f(x) puis on dérive.

• On tape :
  f(x):=cos(x)^3+sin(x)^3
  diff(f(x))
  On obtient :
  -3*cos(x)^2*sin(x)+3*cos(x)*sin(x)^2
  On tape :
  diff(f(x),x,2)
  On obtient :
  -3*cos(x)^3-3*sin(x)^3+6*cos(x)^2*sin(x)+6*cos(x)*sin(x)^2
  On tape :
  diff(f(x),x,3)
  On obtient :
  6*cos(x)^3-6*sin(x)^3+21*cos(x)^2*sin(x)-21*cos(x)*sin(x)^2
  On tape :
  diff(f(x),x,4)
  On obtient :
  21*cos(x)^3+21*sin(x)^3-60*cos(x)^2*sin(x)-60*cos(x)*sin(x)^2
  On tape :
  diff(f(x),x,5)
  On obtient :
  -60*cos(x)^3+60*sin(x)^3-183*cos(x)^2*sin(x)+183*cos(x)*sin(x)^2
  On suppose que la derivée n-ième est de la forme :
  f(x)⁽ⁿ⁾=a(n)cos(x)³+b(n)cos(x)²sin(x)+c(n)cos(x)sin(x)²+d(n)sin(x)³ avec u(n)=|a(n)|=|d(n)| et v(n)=|b(n)|=|c(n)| On a la relation de récurrence :
  u(0)=1 et v(0)=0 u(n+1)=v(n) et
  v(n+1)=3u(n)+2v(n) Les signes de |a(n),b(n),c(n),d(n)| sont les mêmes modulo 4.
  On a a(n)*c(n)=b(n)*d(n)<0 On définit les fonctions :
  p(n):=ifte(irem(n,4)==0 or irem(n,4)==1,1,-1)
  q(n):=ifte(irem(n,4)==0 or irem(n,4)==3,1,-1)
  q(n)=p(n+1) donc la définition de q est inutile.
  On a alors :
  f(x)⁽ⁿ⁾=p(n+1)u(n)cos(x)³+p(n)u(n)sin(x)³−p(n)v(n)cos(x)²sin(x)−p(n+1)v(n)cos(x)sin(x)² Il reste à trouver en fonction de n les valeurs de u(n) et de v(n) en fonction de n.
  On tape :
  rsolve([u(n)=v(n-1),v(n)=3*u(n-1)+2*v(n-1)],[u(n),v(n)],[u(0)=1,v(0)=0])
  On obtient :
  [[3^(n+1)*1/12+(-1)^n*3*1/4,3^(n+1)*1/4-(-1)^n*3*1/4]]
  Donc :
  f(x)⁽ⁿ⁾=(p(n+1)cos(x)³+p(n)sin(x)³)*(3ⁿ*1/4+(−1)ⁿ*3/4)−(p(n)cos(x)²sin(x)+p(n+)cos(x)sin(x)²)*(3⁽n+1)*1/4−(−1)ⁿ*3/4)
• Pour linéariser on utilise la formule de Moivre :
  (cos(x)+i*sin(x))³=cos(3x)+i*sin(3x) donc
  cos(x)³+3*i*(1−sin(x)²)*sin(x)−3*cos(x)*(1−cos(x)²)−isin(x)³=cos(3x)+i*sin(3x)
  Donc :
  4cos(x)³=cos(3x)+3*cos(x)
  4sin(x)³=−sin(3x)+3sin(x) Ou on tape :
  tlin(cos(x)^3+sin(x)^3)
  On obtient :
  3*cos(x)/4+cos(3*x)/4+3*sin(x)/4-sin(3*x)/4
  Il reste à connaitre la dérivée n-ième de cos(x) et de sin(x).
  On a :
  cos(x)′=−sin(x)=cos(x+π/2) et sin(x)′=cos(x)=sin(x+π/2) donc
  cos(x)⁽ⁿ⁾=cos(x+nπ/2) et sin(x)⁽ⁿ⁾=sin(x+nπ/2)
  On en déduit que :
  

  f(x)(n)=

  1 4

  *(3(cos(x+

  nπ 2

  )+sin(x+

  nπ 2

  ))+3n(cos(3x+

  nπ 2

  )−sin(3x+

  nπ 2

  )))

On vérifie :
On tape :
k(x,n):=(q(n)*cos(x)^3+p(n)*sin(x)^3)*(3^(n+1)*1/12+(-1)^n*3*1/4)-(p(n)*cos(x)^2*sin(x)+q(n)*cos(x)*sin(x)^2)*(3^(n+1)*1/4-(-1)^n*3*1/4)
h(x,n):=1/4*(3(cos(x+n*pi/2)+sin(x+n*pi/2))+3^n*(cos(3x+n*pi/2)-sin(3x+n*pi/2)))
simplify(k(x,n)-h(x,n))$(n=0..15)
On obtient :
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0

3.2.2  Dérivée n-ième de exp(−x²)

On veut calculer la derivée n-ième de la fonction f(x)=exp(−x²) en fonction de n.

• Montrer que f(x)⁽ⁿ⁾=exp(−x²)P_n(x) où P_n est un polynôme réel de degré n ayant pour terme de plus haut degré a_n=(−2)ⁿ. De plus si n est pair P_n(x) est pair et si n est impair P_n(x) est impair.
• Montrer que pour n≥ 1 et pour tout x réel on a :
  P_n+1(x)=−2xP_n(x)−2nP_n−1(x)
• Montrer que, pour n≥ ℕ, P_n vérifie l’équation différentielle y″−2xy′+2ny=0.
  En déduire la valeur P_n(x)

• On tape :
  f(x):=exp(-x^2)
  diff(f(x))
  On obtient :
  -2*x*exp(-x^2)
  On tape en décochant sqrt dans la configuration du CAS :
  factor(diff(f(x),x,2))
  On obtient :
  2*(2*x^2-1)*exp(-x^2)
  On tape en décochant sqrt dans la configuration du CAS :
  factor(diff(f(x),x,3))
  On obtient :
  -4*x*(2*x^2-3)*exp(-x^2)
  On tape en décochant sqrt dans la configuration du CAS :
  factor(diff(f(x),x,4))
  On obtient :
  4*(4*x^4-12*x^2+3)*exp(-x^2)
  On tape en décochant sqrt dans la configuration du CAS :
  factor(diff(f(x),x,5))
  On obtient :
  -8*x*(4*x^4-20*x^2+15)*exp(-x^2)
  On a obtenu :
  P₀(x)=1, P₁(x)=−2x, P₂(x)=4x²−2, P₃(x)=−8x³+12x,
  P₄(x)=16x⁴−48x²+12, P₅(x)=−32x⁵+160x³−120x
  On fait un raisonnement par récurrence pour montrer la propriété :
  f(x)⁽ⁿ⁾=exp(−x²)P_n(x) où P_n est un polynôme réel de degré n avec a_n=(−2)ⁿ.
  Si f(x)⁽ⁿ⁾=exp(−x²)P_n(x) avec P_n(x) un polynôme de degré n alors puisque
  f(x)⁽ⁿ⁺¹⁾=exp(−x²)(−2xP_n(x)+P_n(x)′)
  on a P_n+1(x)=−2xP_n(x)+P_n(x)′ et P_n+1 est bien un polynôme de degré n+1 et a_n+1=−2*(−2)ⁿ=(−2)ⁿ⁺¹.
  La propriété est vraie pour n=0 et si la propriété est vraie pour n alors elle est vraie pour n+1, donc la propriété est vraie pour tout entier naturel et on a P_n+1(x)=−2xP_n(x)+P_n(x)′ De plus si P_n est pair (resp impair), 2xP_n(x) etP_n(x)′ sont impairs (resp pairs) donc P_n+1(x) est impair (resp pair). Comme P₀(x)=1 est pair on en déduit que P_n(x) est pair (resp impair) si n est pair (resp impair).
• On fait encore un raisonnement par récurrence pour montrer que : P_n(x)′=−2nP_n−1(x) pour n≥ 1.
  On a :
  P₁(x)′=−2=−2*1*1, P₂(x)′=8x=−2*2*P₁(x)=8x
  La propriété est vraie pour n=1
  Si elle est vraie pour n alors :
  P_n(x)′=−2nP_n−1(x) et comme on a d’après la question 1 P_n+1(x)=−2xP_n(x)+P_n(x)′ on en déduit que :
  P_n+1(x)=−2xP_n(x)−2nP_n−1(x) donc
  P_n+1(x)′=−2P_n(x)−2xP_n(x)′−2nP_n−1(x)′=
  −2P_n(x)+4nxP_n−1(x)−2nP_n−1(x)′=−2P_n(x)−2n(−2xP_n−1(x)+P_n−1(x)).
  On a d’après la question 1 : −2n(−2xP_n−1(x)+P_n−1(x))=−2nP_n(x) donc
  P_n+1(x)′=−2P_n(x)−2nP_n(x)=−2(n+1)P_n(x) La propriété est vraie pour n=1 et si la propriété est vraie pour n≥ 1 alors elle est vraie pour n+1, donc la propriété est vraie pour tout entier n≥ 1.
  Remarque
  Plutôt que faire une récurrence, on peut aussi utiliser la formule de Leibniz pour calculer la dérivée n-ième d’un produit, à savoir :
  (u*v)⁽ⁿ⁾=∑_k=0ⁿcomb(n,k)u^(k)*v^(n−k)
  On a f′(x)=(−2x)*f(x) et comme les dérivées k-ième de −2x sont nulle pour k>1 on a :
  ((−2x)*f(x))⁽ⁿ⁾=−2xf⁽ⁿ⁾(x)+n(−2)*f(x)⁽ⁿ⁻¹⁾=−2xf⁽ⁿ⁾(x)−2nf(x)⁽ⁿ⁻¹⁾
  Donc:
  −2xf⁽ⁿ⁾(x)−2nf(x)⁽ⁿ⁻¹⁾=f(x)⁽ⁿ⁺¹⁾
  et pour n≥ 1, P_n+1(x)=−2xP_n(x)−2nP_n−1(x)
• On vient de montrer que pour n≥ 1 on a : P_n(x)′=−2nP_n−1(x).
  En dérivant cette égalité on obtient :
  P_n(x)″=−2nP_n−1(x)′
  donc on a les 2 équations :
  −2nP_n−1(x)=P_n(x)′.
  −2nP_n−1(x)′=P_n(x)″ Puisque P_n(x)=−2xP_n−1(x)+P_n−1(x)′ on en déduit que :
  2nP_n(x)=2x*(−2nP_n−1(x)−(−2nP_n−1(x)′)=2xP_n(x)′)−P_n(x)″
  Donc P_n(x)″−2xP_n(x)′+2nP_n(x)=0 ce qui signifie que pour n≥ 1 P_n vérifie l’équation différentielle y″−2xy′+2ny=0. Pour n=0 on a P₀(x)=1 donc P₀ vérifie aussi cette équation différentielle. Si P_n(x)=∑_k=0ⁿa(k)*x^k avec a_n=(−2)ⁿ on a :
  P_n(x)′=∑_k=0ⁿk*a(k)*x^k−1 et
  P_n(x)″=∑_k=0ⁿk*(k−1)*a(k)*x^k−2
  donc ∑_k=0ⁿk*(k−1)*a(k)*x^k−2+(2n−2*k)*a(k)*x^k=0
  (∑_j=0ⁿ⁻²((j+2)*(j+1)*a(j+2)+(2n−2*j)*a(j))*x^j)+2a(n−1)xⁿ⁻¹+0=0
  on obtient :
  a_n−1=0 et
  a_j=−a_j+2(j+2)(j+1)/(2(n−j)) On sait que a(n)n=(−2)ⁿ donc :
  a(n−2)=−a(n)*n(n−1)/(2*2)
  a(n−4)=−a(n−2)*(n−2)(n−3)/(2*4)
  .... a(n−2j)=−a(n−2j+2)*(n−2j+2)(n−2j+1)/(2*2*j)
  Donc en multipliant membre à membre :
  a(n−2j)=(−1)^ja(n)*n!/((n−2j)!2^2j*j!)=(−1)^n−j*2^n−2jn!/((n−2j)!j!)
  Puisque a_n−1=0 donc a(n−2j−1)=0
  Donc :
  P_n(x)=∑_j=0^iquo(n,2)a(n−2j)x^n−2j
  En résumé :
  P_n(x)=(−1)ⁿ∑_k=0^iquo(n,2)(−1)^k*n!/k!*(n−2k)!*2^n−2k*x^n−2k
  On vérifie:
  On tape pour calculer P₄(x):
  n:=4)
  (-1)^n*sum((-1)^j*n!/(j!*(n-2j)!)*2^(n-2j)*x^(n-2j),j=0..2)
  On obtient P₄(x) :
  16*x^4-48*x^2+12
  On tape :
  n:=4)
  (-1)^n*sum((-1)^j*n!/(j!*(n-2j)!)*2^(n-2j)*x^(n-2j),j=0..2)
  On obtient P₅(x) : -32*x^5+160*x^3-120*x

3.2.3  Dérivée n-ième de g(x)=exp(−1/x²)

Soit g la fonction définie par :
g(0)=0 et pour x≠ 0, g(x)=exp(−1/x²).
Montrer que g est indéfiniment dérivable. Puis, à l’aide de l’exercice précédent et de l’exercice suivant calculer la dérivée n-ième de g(x).
g est indéfiniment dérivable sur ℝ^*.
On tape :
g(x):=exp(-1/x^2)
diff(g(x),x,n)$(n=1..3)
diff(g(x),x,4)
On obtient :
2*exp(-1/x^2)/x^3,(4*exp(-1/x^2)-6*x^2*exp(-1/x^2))/x^6,
(8*exp(-1/x^2)-36*x^2*exp(-1/x^2)+24*x^4*exp(-1/x^2))/x^9
(16*exp(-1/x^2)-144*x^2*exp(-1/x^2)+300*x^4*exp(-1/x^2)-120*x^6*exp(-1/x^2))/x^12
Montrons par récurrence que :

où Q_n(x) est un polynôme de degré 2(n−1).
On a d’après les calculs précédents :
Q₁(x)=−2
Q₂(x)=4−6*x²
Q₃(x)=8−36*x²+24*x⁴
Q₄(x)=16−144*x²+300*x⁴−120*x⁶
On calcule g(x)⁽ⁿ⁺¹⁾ en fonction de g(x)⁽ⁿ⁾ :
si g(x)⁽ⁿ⁾=Q_n(x)/x³ⁿ*exp(−1/x²) on a
g(x)⁽ⁿ⁺¹⁾=2Q_n(x)/x³⁽ⁿ⁺¹⁾*exp(−1/x²)+Q_n(x)′/x³ⁿ*exp(−1/x²)−3nQ_n(x)/x³ⁿ⁺¹*exp(−1/x²)
Donc :
g(x)⁽ⁿ⁺¹⁾=Q_n+1(x)/x³⁽ⁿ⁺¹⁾*exp(−1/x²) avec
Q_n+1(x)=−2Q_n(x)+x³Q_n(x)′−3nx²Q_n(x)=x³Q_n(x)′+(2−3nx²)Q_n(x) Q_n+1(x) est donc bien un polynôme de degré 2+2(n−1)=2n Montrons que g est indéfiniment dérivable en 0 et que g⁽ⁿ⁾(0)=0.
On tape :
limite(g(x),x=0)
On obtient :
0 g est donc continue en 0.
On tape :
limite(g(x)/x,x=0,1)
On obtient :
0
On tape :
limite(g(x)/x,x=0,1)
On obtient :
0
g est donc dérivable en 0.
On a g⁽ⁿ⁾/x=Q_n(x)/x³ⁿ⁺¹*exp(−1/x²).
Donc lim_x−>0g⁽ⁿ⁾/x=0
On tape :
assume(k,integer)
limite(g(x)/x^k,x=0,1)
On obtient :
0
On tape :
limite(g(x)/x^k,x=0,1)
On obtient :
0
Donc g est indéfiniment dérivable en 0 et g⁽ⁿ⁾(0)=0.
On a :
x³*g′(x)=2g(x) On dérive n fois x³*g′(x) en utilisant la formule de Leibniz.
Les dérivées n-ième de x³ sont nulles pour n>3 donc :
2g(x)⁽ⁿ⁾=(x³*g′(x))⁽ⁿ⁾=∑_k=0³comb(n,k)*(x³)^(k)(g(x))^(n−k+1)
donc
2g(x)⁽ⁿ⁾=x³g(x)⁽ⁿ⁺¹⁾+3nx²g(x)⁽ⁿ⁾+3n(n−1)xg(x)⁽ⁿ⁻¹⁾+3n(n−1)(n−2)g(x)⁽ⁿ⁻²⁾
On en déduit que :
Q_n+1(x)+(3nx²−2)Q_n(x)+3n(n−1)x⁴Q_n−1(x)+3n(n−1)(n−2)x⁶Q_n−2(x)=0
Pour déterminer Q_n(x) on va utiliser l’exercice précédent et l’exercice qui suit !

3.2.4  Dérivée n-ième de g(x)=f(1/x)

Soit f une fonction indéfiniment dérivable. On cherche à exprimer la dérivée n-ième de g(x)=f(1/x) en fonction de la dérivée n-ième de f.
Puis en utilisant la valeur de la dérivée n-ième de f(x)=exp(−x²), on pourra par exemple trouver les dérivées n-ième de la fonction g définie par g(0)=0 et pour x≠ 0, g(x)=exp(−1/x²).
Pour cela on cherche à exprimer la dérivée n-ième de g(x)=f(1/x) en fonction de la dérivée n-ième de f.
On tape :
g(x):=f(1/x)
diff(g(x),x,n)$(n=1..3)
On obtient :
-f’(1/x)/x^2,(2*f’(1/x)+f’’(1/x))/x^3,(-6*x^2*f’(1/x)-6*x*f’’(1/x)-f’’’(1/x))/x^6
On tape :
diff(g(x),x,4)
On obtient :
(24*x^3*f’(1/x)+36*x^2*f’’(1/x)+12*x*f’’’(1/x)+f’’’’(1/x))/x^8
On va montrer que :
g⁽ⁿ⁾(x)=∑_k=1ⁿa(k,n)x^−n−kf^(k)(1/x) avec a(1,n)=(−1)ⁿn!
a(k,n)=(−1)ⁿn!(n−1)!/k!(k−1)!(n−k)!
a(n,n)=(−1)ⁿ
On a :
g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=−∑_k=1ⁿa(k,n)x^−n−k−2f^(k+1)(1/x)−∑_k=1ⁿa(k,n)(n+k)x^−n−k−1f^(k)(1/x)
Donc :
a(1,n+1)=−a(1,n)(n+1),
Comme a(1,1)=−1 on en déduit que a(1,n)=(−1)ⁿn!
a(n+1,n+1)=−a(n,n),
Comme a(1,1)=−1 on en déduit que a(n,n)=(−1)ⁿ
En posant j=k-1 dans la 2ième somme:
∑_k=1ⁿa(k,n)(n+k)x^−n−k−1f^(k)(1/x)=∑_j=0ⁿ⁻¹a(j+1,n)n(n+j+1)x^−n−j−2f^(j+1)(1/x)
Donc pour k=1..n−1 :
a(k+1,n+1)=−a(k,n)−a(k+1,n)n(n+k+1)
ou encore j=k+1:
a(j,n+1)=−a(j−1,n)−a(j,n)n(n+j) pour j=2..n
Si a(k,n)=(−1)ⁿn!(n−1)!/k!(k−1)!(n−k)! pour k=1..n
a(k,n+1)=−(−1)ⁿn!(n−1)!/(k−2)!(k−1)!(n−k+1)!+(−1)ⁿn!(n−1)!n(n+k)/k!(k−1)!(n−k)! a(k,n+1)=(−1)ⁿ⁺¹n!(n−1)!/(k−2)!(k−1)!(n−k)!*(1/n−k+1+n+k/k(k−1)) On tape :
factor(1/(n-k+1)+(n+k)/(k*(k-1)))
On obtient :
n*(n+1)/(k*(k-1)*(n-k+1))
Donc pour k=2..n :
a(k,n+1)=(−1)ⁿ⁺¹n!(n+1)!/k!(k−1)!(n−k+1)!
On a donc montré par récurrence que :

Si f(x)=exp(−x²), on sait que :
f^(k)(1/x)=P_k(1/x)*exp(−1/x²) donc si g(x)=exp(−1/x²)=f(1/x), on a :
g⁽n)(x)=∑_k=1ⁿ(−1)ⁿn!(n−1)!/k!(k−1)!(n−k)!x^−n−kP_k(1/x)exp(−1/x²)
P_k(x)=(−1)ⁿ∑_j=0^iquo(k,2)(−1)^j*k!/j!*(k−2j)!*2^k−2j*x^k−2j
Or P_k(1/x)=(−1)ⁿ∑_j=0^iquo(k,2)(−1)^j*k!/j!*(k−2j)!*2^k−2j*x^2j−k= R_k(x)/x^k donc
R_k(x)=(−1)ⁿ∑_j=0^iquo(k,2)(−1)^j*k!/j!*(k−2j)!*2^k−2j*x^2j
∑_j=0^kc(j,k)x^k−j=∑_j=0^kc(k−j,k)x^j
donc x^−n−kP_k(1/x)= R_k(x)/x^n+2k.
x³ⁿg⁽n)(x)=(∑_k=1ⁿ(−1)ⁿn!(n−1)!/k!(k−1)!(n−k)!R_k(x)*x^2*n−2k)exp(−1/x²)
Donc :
Q_n(x)=∑_k=1ⁿ(−1)ⁿn!(n−1)!/k!(k−1)!(n−k)!R_k(x)*x^2*n−2k avec
R_k(x)=(−1)ⁿ∑_j=0^iquo(k,2)(−1)^j*k!/j!*(k−2j)!*2^k−2j*x^2j
On vérifie que :
Q₁(x)=−2
Q₂(x)=4−6*x²
Q₃(x)=8−36*x²+24*x⁴
Q₄(x)=16−144*x²+300*x⁴−120*x⁶
On tape :
R(n,x):=(-1)^n*sum((-1)^j*n!/(j!*(n-2j)!)*2^(n-2j)*x^(2j),j=0..iquo(n,2)
Q(n,x):=sum((-1)^n*(n!*(n-1)!)/(k!*(k-1)!*(n-k)!)*R(k,x)*x^(2*n-2k),k=1..n)
Q(3,x)
On obtient :
24*x^4-36*x^2+8
On tape :
Q(3,x)
On obtient :
-120*x^6+300*x^4-144*x^2+16
Ouf ! c’est correct!