Modèle étudié

• Dans les modèles précédents, la dynamique est dite régulière ou intégrable car la conservation de l'énergie contraint la particule classique à se déplacer sur la courbe unidimensionnelle d'équation $E=H\left(x,p\right)$dans l'espace de phase.
• Pour observer une dynamique chaotique, il faut que la particule ait ``plus de liberté''. Pour cela, il faut considérer des systèmes avec plus de degrés de libertés, ou plus simplement permettre à $H$ de dépendre du temps, en imposant une force extérieure périodique par exemple.

Modèle simple: le ``Kicked pulsé''

• On va considérer un modèle artificiel mais très simple, dans l'espace de phase $\left(x,p\right)$, avec le Hamiltonian suivant de période 1 par rapport à $x$ et $p$ et de période $T$ par rapport à $t$:
  

  $$H_{1}\left(x,p\right) = \cos\left(2\pi x\right),\qquad\textrm{pour } 0<t<T/2$$

  $$H_{2}\left(x,p\right) = \cos\left(2\pi p\right),\qquad\textrm{pour } T/2<t<T$$

  
  

Trajectoires stroboscopiques

• On représentera la dynamique de façon stroboscopique, c'est à dire à chaque période $t=0,T,2T,\ldots$. Une trajectoire est donc réprésentée par une série de points:

  $$\left(x_{0},p_{0}\right)\rightarrow\left(x_{1},p_{1}\right)\rightarrow\left(x_{2},p_{2}\right)\ldots$$ (1)

  
  

• De plus, comme $H_{1}$ et $H_{2}$ sont périodiques, il suffit de considérer la partie fractionnaire de $x$ et $p$ dans l'intervalle $\left[0,1\right]$.
• Equations du mouvement: pour $0<t<T/2$, $\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p}=0$ et $\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x}=2\pi\sin\left(2\pi x\right)$, donc
  $$p_{i+1}\equiv p_{i}+2\pi\sin\left(2\pi x_{i}\right) \left[1\right]$$
  de même pour $T/2<t<T$,
  $$x_{i+1}=x_{i}-2\pi\sin\left(2\pi p_{i+1}\right) \left[1\right]$$
  La trajectoire sur une période est donc la succession de deux segments.
• La constante de Planck sera $h=1/200=0.005$.