Méthode des itérations inverses.

La méthode des itérations inverses consiste lorsque l'endomorphisme f est inversible à appliquer l'algorithme de la puissance à f^-1 en effet:
si $\lambda$ est une valeur propre de f et si w est un vecteur propre associé à $\lambda$ on a :
f (w) = $$\lambda$$w  $$\Leftrightarrow$$  f^-1w = $${\frac{1}{\lambda}}$$w
La méthode des itérations inverses permet donc de trouver la valeur propre de plus petit module (à condition d'avoir inversé la matrice A associée à f).
La méthode des itérations inverses est utile lorsqu'on connait une valeur approchée $\tau$ d'une valeur propre $\lambda$. On peut alors améliorer $\tau$ en utilisant des itérations inverses, puisqu'alors la matice B = A - $\tau$I est inversible et possède $\lambda$ - $\tau$ (qui est très petit) comme valeur propre.
On cherche l'inverse de B = A - $\tau$I, puis on pose :
y₀ = B^-1b où b est un vecteur aléatoire (y₀ est alors proche d'un vecteur propre correspondant à $\lambda$ $\approx$ $\tau$.
On itère ensuite la procédure.

Exercice 5 (à rendre à la fin du TP6)
Trouvez la valeur propre la plus proche de -3.5 des matrices de l'exercice 4.