Méthode de Gauss

Exercice Q4 (à rendre à la fin de la séance 3)
On souhaite écrire une fonction gauss(q,x) prenant en argument une forme quadratique $q$ et la liste de variables $x$ dont elle dépend et renvoyant une expression égale à $q$ écrite comme somme/différence de carrés indépendants. On va le faire récursivement.
Si $x$ est de longueur 0 ou 1, que faut-il renvoyer?
Sinon, on calcule $a_{ii}=\frac{1}{2} \partial^2 q/\partial x_i^2$ pour tous les $x_i$ de la liste $x$:

• Si on en trouve un $a_{ii}$ non nul, on va s'en servir pour former un carré. On calcule $b_i=\frac{1}{2} \partial q/\partial x_i$. En utilisant $\partial b_i/\partial x_i=a_{ii}$, montrer que $q'=q-\frac{1}{a_{ii}} b_i^2$ ne dépend pas de $x_i$. On renvoie alors $\frac{1}{a_{ii}} b_i^2+\mbox{gauss}(q',x')$ où $x'$ est la liste $x$ dont on a supprimé le $i$-ième élément (vous pouvez utiliser la fonction simplify pour simplifier l'expression de $q'$ avant l'appel récursif).
• Si tous les $a_{ii}$ sont nuls, il n'y a pas de termes carrés, on cherche alors un $a_{ij}=\frac{1}{2}\partial^2 q/\partial x_i \partial x_j$ non nul (s'il n'y en a pas, $q$ est nul et on renvoie 0). Construire alors une différence de deux carrés qui élimine les variables $x_i$ et $x_j$ de $q$ (on pourra utiliser $a_{ij}$, $b_i$ et $b_j$).

Écrire la fonction gauss

Exercice Q5 (à rendre à la fin de la séance 3)
Tester le programme précédent pour trouver une base orthogonale relativement à $q$ lorsque :
$q(x)=x_1^2+2x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3$ pour $x \in \mathbb{R}^3$

Exercice Q6 (à rendre au début de la séance 4)
Soit pour $a \in \mathbb{R}$ la forme quadratique définie par :
$q_a(x)=x_1^2+5x_2^2+ax_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3$ pour $x \in \mathbb{R}^3$
a/ Écrire la matrice $M_a$ de $q_a$ relativement à la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
b/ Utiliser le programme précédent pour décomposer $q_a$ en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.
Expliciter les formes linéaires trouvées.
Pour quelles valeurs de $a$, $q_a$ est-elle : non dégénérée ? définie positive ?
c/ Dans le cas où $q_a$ est définie positive, montrer qu'il existe une matrice carrée d'ordre 3 $S_a$ telle que : $M_a=\,^tS_aS_a$